把m个球放到n个盒子里-有多少种方法-球盒问题-8种情况

第1页共3页球盒问题一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不同的放法？解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个.由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆.即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法.结论ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中.问有多少种不同的放法？解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.结论ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不同的放法？（隔板法）解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法.将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有27C=21267种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内.故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.结论ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），不能有空盒的放法数11mnC.四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中.问有多少种不同的放法？解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个.还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板.首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有19C种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有110C种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，第2页共3页两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中.故一共有2119C110C452910210C种.或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即453692919CC种.例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个.先放一个到每个盒子中，只有一种放法.然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有2126721271716CCC种.结论ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒的放法数11mmnC.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不同的放法？解析由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况.而8个球分成三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种.对情况1-1-6有2661718CCC种分法，对情况1-2-5有552718CCC种分法，对情况1-3-4有443718CCC种分法，对情况2-2-4有2442628CCC种分法，对情况2-3-3有2333628CCC（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有2661718CCC+552718CCC+443718CCC+2442628CCC+2333628CCC=966种.结论ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n≥m），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？解析只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1272148553866287718CCCCCCC；二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况.所以一共有966+127+1=1094种.结论ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n≥m），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和.七、球不同，盒子不同，且盒子不能空第3页共3页例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个.问有多少种不同的放法？解析这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？”就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中.即96633A=5796种.结论ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例8．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？解析包括分三堆的5796种，还有分两堆的12776233A，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561种.结论ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒的放法种数等于ｍｎ种.