结构力学第七章-位移法总结

1第7章位移法§7-1位移法基本未知数的确定§7-2转角位移公式（超静定单跨梁的计算）§7-3一个未知数结构的计算§7-4两个及多个未知数结构的计算§7-5对称性的利用§7-6支座移动温度变化作用下结构的计算位移法有两种形式：基本体系法与直接平衡法.基本体系法建立在基本体系的基础上，直接平衡法利用转角位移公式对结点与杆件列平衡方程来计算。两者本质一样，但形式不同。基本体系法是一定要学的。本课程只讲基本体系法。为什么一定要学基本体系法？因为：（1）基本体系法与力法对应。（2）基本体系法与矩阵位移法对应。（3）刚度系数在结构动力计算中要计算。2§7-1位移法基本未知数的确定作业:7-1PPΔ1Δ2mmθθPPθθ知道了结点位移，就可以求得各杆的内力。位移法的基本未知数：独立的结点位移(包括角位移与线位移)桁架结点位移：一个结点有两个结点线位移。3Z1Z1Z1Z2Z1Z2Z1Z2Z3Z4Z3Z4Z1Z2未知数:2~4个对于刚架刚臂只约束转动一个刚结点就是一个角位移不计杆件轴力引起的轴向变形，不计弯曲变形引起的杆件的伸长（小变形）。4Z1Z2Z3Z4Z1Z2Z3Z4基本未知数:1~4个ΔΔZ2Z1Z3两个角位移,一个线位移5•刚架结点角位移未知数：一个刚结点就是一个角位移。•刚架结点线位移未知数：将刚结点变成铰结点，在结点施加最少的链杆，使体系几何不变，增加的链杆数就是线位移数量。6§7-2转角位移公式（超静定单跨梁的计算）PθθθθPθP=+=+结构的计算就是单跨梁的计算有三类基本的超静定单跨梁：7单跨梁荷载单跨梁杆端力lEIEAMABMBAQABQBABAθA=1BA4i2iBθB=1A2i4iΔ=1BA6i/l6i/l形常数(要求记住)ΔθAθBBAFABMFBAMFABQFBAQ单跨梁固端力426FABABABMiiiMlqqΔ=+-+线刚度i=EI/l246FBAABBAMiiiMlqqΔ=+-+8θA=1BA3i单跨梁杆端力MABQABQBABAΔ=1BA3i/l单跨梁荷载ΔθA单跨梁固端力BAFABMFABQFBAQ33FABAABMiiMlqΔ=-+形常数(要求记住)lEIEA9单跨梁杆端力单跨梁荷载单跨梁固端力FABABABMiiMqq=-+θA=1iiθAθBθB=1lEIEAFABMFABQBAFBAMMABQABBAMBAFBAABBAMiiMqq=-++形常数(要求记住)10lqql2/12ql2/12ql2/24lqql2/8lqql2/3ql2/6l/2Pl/2Pl/8Pl/8Pl/8l/2Pl/23Pl/165Pl/32载常数(要求记住)l/2Pl/23Pl/8Pl/8证明题:证明对称荷载下,一端固定一端铰支梁的固端弯矩，是两端固定梁的固端弯矩的1.5倍。11EAαt0EAαt01.5EIαΔt/hΔt=t1-t2lmmmmm/2m/2ltt11tt22EIαΔt/hEAαt0EAαt0Δt=t1-t2ltt11tt22ltt11tt22EAαt0EAαt0EIαΔt/hΔt=t1-t2lPPPl/2Pl/2Pl/2Pl/2t0=0.5(t1+t2)12§7-3一个未知数结构的计算(基本体系法)==+R11=r11Z1R1=R11+R1P=r11Z1+R1P=0基本未知数(量)：独立的结点位移（角位移与线位移）。基本结构：增加附加约束，约束结点位移，使结构各个杆件成为可计算的单跨梁。基本体系：基本结构上作用了外荷载与结点位移。基本方程：附加约束对结构的作用力为零。20kN2kN/mZ1R120kN2kN/mR1P固定状态Z1R11放松状态Z1=1r116m3m3m20kN2kN/mEIR1=013作业:7-2(a)、(b)、(c)(要求完整求解),7-7,7-8,7-1820kN2kN/mR1P固定状态Z1=1r11Z1=1r114i2i3iM1R1P15159MP4i3ir11r11=4i+3i=7iR1P=15-9=6159R1PZ1=-R1P/r11M=M1Z1+MPM(kN·m)16.7111.5715.863.21Pl/8=20×6/8=15ql2/8=2×62/8=9=-6/(7i)14位移法计算一个未知数结构(刚架)的步骤1选取基本结构,确定基本未知数,列位移法基本方程。r11Z1+R1P=02作M1、MP图。3计算r11、R1P。4解位移法基本方程，得Z1。(r110,方程有唯一解)Z1=-R1P/r115作内力图。M=M1Z1+MPr11(k11)：基本结构中结点位移Z1=1时，附加约束对结构的作用力。R1P：外荷载单独作用于基本结构时，附加约束对结构的作用力。力法与位移法的对比平衡条件变形协调条件基本方程增加约束，使结构成为一系列可计算的单跨梁去掉多余约束后的静定结构基本体系独立的结点位移多余未知力基本未知数位移法力法请一定按基本体系法计算!15例1：用位移法计算图示结构,作弯矩图。qaaqZ1基本体系r11Z1=12i3i4iM1R1Pqa2/8MP4i3ir11r11=4i+3i=7iR1Pqa2/8R1P=qa2/8Z1=-R1P/r11M=M1Z1+MPqa2/14qa2/285qa2/56MEIr11Z1+R1P=0=-qa2/(56i)16ql2/8例2：用位移法计算图示结构,作弯矩图。r11=3i+3i+2i=8iR1P=ql2/8-3ql2/8=-ql2/4Z1=-R1P/r11M=M1Z1+MPr113i3i2i3i3i2iM1ql2/83ql2/83ql2/163ql2/327ql2/325ql2/16MR1P3ql2/8ql2/8MPqqlZ1基本体系l/2lll/2qql2iiir11Z1+R1P=0=ql2/(32i)r11R1PZ1=117例3：用位移法计算图示结构,作弯矩图。(结点力矩的处理)r11=4EI/l+8EI/l=12EI/lR1P+m=0R1P=-mZ1=-R1P/r11M=M1Z1+MPll/2mEImEIZ1基本体系r114EI/lM14EI/l2EI/l8EI/l4EI/lr118EI/lm/3m/62m/3m/3MR1PmmR1PMPr11Z1+R1P=0=ml/(12EI)Z1=118例4：用位移法计算图示结构,作弯矩图。(悬臂杆的处理方法1)r11=4i+3i=7iR1P=qa2/8-PaZ1=-R1P/r11M=M1Z1+MPr11Z1+R1P=0qr11Z1=12i3i4iM1R1Pqa2/8MPPa=-(qa2/8-Pa)/(7i)aaEIaP4i3ir11qa2/8PaR1PM212287qaPa-214147qaPa-213147qaPa+PaZ1基本体系qP19例5：用位移法计算图示结构,作弯矩图。(悬臂杆的处理方法2)Z1=-R1P/r11r11Z1+R1P=0R1P=qa2/8-Paqa2/8MP=-(qa2/8-Pa)/(7i)aaEIaPqq等效结构PaaaZ1基本体系qPaZ1=12i3i4ir11M1r11=4i+3i=7i4i3ir11R1PqPaqa2/8PaR1PM=M1Z1+MPM212287qaPa-214147qaPa-213147qaPa+Pa20例6：用位移法计算图示结构,作弯矩图。（非基本杆件的处理）r11=2i+12i=14iM=M1Z1+MP12ir112iM1lll2i3i4im2i12ir112i3i4imZ1m/76m/7M基本体系r11Z1+R1P=0mR1PMPR1PmR1P=-mZ1=-R1P/r11=m/(14i)Z1=121例7：用位移法计算图示结构(线位移),作弯矩图。PI1h1I2I3h2h3Z1=13i1/h13i2/h23i3/h3r113121122221233333iiiirhhhh=++=∑PPR1PR1PR1P=-Pr11Z1+R1P=0112113/PRiZPrh=-=∑1213ihM1MPi1=EI1/h1i2=EI2/h2i3=EI3/h32223ih3233ih112//ihPihΣ222//ihPihΣ332//ihPihΣMM=M1Z1+MP3i3/h33233ihr1122PP2112//ihPihΣ2222//ihPihΣ2332//ihPihΣ222331122123222//////ihihihihihihmmm===ΣΣΣPPμ1PPμ2PPμ3PPμ1+μ2+μ3=1定义定义::这种这种方法称为剪力称为剪力分配法分配法PI1h1I2I3h2h3112//ihPihΣ222//ihPihΣ332//ihPihΣMμ1Pμ1Ph1μ2Pμ2Ph2μ3Ph3μ3P23iilhPr1112i/h212i/h2r11=12i/h2+12i/h2=24i/h2PR1PR1P=-Pr11Z1+R1P=0R1PPP例8：用位移法计算图示结构(线位移),作弯矩图。MPMM=M1Z1+MPZ1=-R1P/r116i/h6i/h6i/h6i/hr11M1Z1基本结构6i/h6i/h12i/h212i/h2Ph/4Ph/4Ph/4Ph/4=Ph2/(24i)Z1=124Z2Z1Z1§7-4两个及多个未知数结构的计算作业：7-6,7-9,7-10Z1Z2Z2R1R2R1PR2Pr11Z1r21Z1r12Z2r22Z2Z1=1Z2=1r11r21r12r22R1=r11Z1+r12Z2+R1P=0R2=r21Z1+r22Z2+R2P=0r11r22-r12r210,方程有唯一解。rij(kij)：Zj=1作用下基本结构附加约束i的约束反力。rii0,rij=rjiRiP：外荷载作用下基本结构附加约束i的约束反力。R1=0R2=0基本结构25位移法计算二个未知数结构的步骤1.确定基本未知数,选取基本结构,列位移法基本方程。3.计算r11、r22、r12=r21、R1P、R2P。4.解位移法基本方程，得Z1、Z2。5.作内力图。r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0M=M1Z1+M2Z2+MP2.作M1、M2、MP图。rii0,rij=rji26r11Z1+r12Z2+······+r1nZn+R1P=0r21Z1+r22Z2+······+r2nZn+R2P=0······························rn1Z1+rn2Z2+······+rnnZn+RnP=0111212122212..........................................nnnnnnrrrrrrrrr具有n个未知数的结构：系数矩阵为正定矩阵，行列式大于零，方程有唯一解。1122.............nnPMMZMZMZM=++++rij(kij)：Zj=1作用下基本结构附加约束i的约束反力。rii0,rij=rjiRiP：外荷载作用下基本结构附加约束i的约束反力。27例1：用位移法计算图示结构,作弯矩图,EI为常数。3i4i2i40kN20kN/m6m6m3m3m3i4i2i4590r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0r11=3i+4i=7i,r21=2ir12=2i,r22=3i+4i=7i7iZ1+2iZ2+45=02iZ1+7iZ2-90=0r11r21Z1=1M1r12r22Z2=1M2R1PR2PMP54124269M(kN·m)R1P=45,R2P=-90M=M1Z1+M2Z2+MPZ1=-11/iZ2=16/iZ2Z1R1R2基本结构3Pl/16=45ql2/8=90283Pl/16=45例2：用位移法计算图示结构,作弯矩图,EI为常数。(结点力矩的处理)3i4i2i40kN20kN/m6m6m3m3m3i4i2i4590r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0r11=3i+4i=7i,r21=2ir12=2i,r22=3i+4i=7i7iZ1+2iZ2+45=02iZ1+7iZ2