2013高考数学高频考点突破：数列的综合应用

数列是特殊的函数，等差、等比数列更是如此，因此，求解数列问题应依据题意，注意沟通数列与函数之间的内在联系，运用函数的思想方法求解往往使解法方便快捷．[例1]已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；(2)令bn＝2an，其中n∈N*，求数列{nbn}的前n项和．[思路点拨](1)通过分析an的正负确定Sn何时取最大值．(2)题用错位相减法求和．[自主解答](1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，又∵f′(x)＝－2x＋7，得a＝－1，b＝7，所以f(x)＝－x2＋7x.又因为点Pn(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上，所以有Sn＝－n2＋7n，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，∴an＝－2n＋8(n∈N*)．令an＝－2n＋8≥0，得n≤4，∴当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.(2)由题意得b1＝26＝8，bn＝2－2n＋8＝2－n＋4.所以bn＋1bn＝12，即数列{bn}是以8为首项，12为公比的等比数列，故数列{nbn}的前n项和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2－n＋4，①12Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，②由①－②得：12Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3，∴Tn＝16[1－12n]1－12－n·24－n＝32－(2＋n)24－n.例1的条件不变，令bn＝1anan－1(n1，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：bn＝1an·an－1＝1－2n＋8－2n＋10＝14·1n－4n－5＝14·(1n－5－1n－4)∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝14[(－14)－(－13)＋(－13)－(－12)＋…＋1n－5－1n－4]＝14(－14－1n－4)＝n164－n.数列与不等式的综合问题是近年来的热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，通常是由基本的等差数列、等比数列等基本数列进行复合、变形后得到的新数列的和．对于这种问题，在解答时需要我们抓住本质，进行合理地变形、求和，最后进行放缩，从而得出结论．[例2]设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝12＋log2x1－x的图象上的任意两点，O为坐标原点且OM＝12(OA＋OB)，点M的横坐标为12.(1)求证：点M的纵坐标为定值；(2)若Sn＝i＝1n－1f(in)，n∈N*且n≥2，求Sn；(3)在(2)的前提下，已知an＝1Sn＋1Sn＋1＋1(n∈N*)，Tn为数列{an}的前n项和，若Tnλ(Sn＋1＋1)对一切n∈N*都成立，求λ的取值范围．[思路点拨](1)题用x1与x2表示出点M的纵坐标．(2)题用倒序相加法求和．(3)题转化成函数最值问题，借助基本不等式(均值不等式)求解．[自主解答](1)设点M(12，yM)，则x1＋x2＝1，yM＝fx1＋fx22＝1＋log2x11－x1＋log2x21－x22＝1＋log2x11－x1·x21－x22＝1＋log21－x21－x1·1－x11－x22＝12，∴点M的纵坐标为定值12.(2)Sn＝(n－1)×12＋log21n－1＋log22n－2＋log23n－3＋…＋log2n－11，倒序相加得：2Sn＝n－1，故Sn＝n－12.(3)∵an＝4n＋1n＋2＝4(1n＋1－1n＋2)，∴Tn＝2nn＋2n＋22λ，∴λ4n＋4＋4n，而4n＋4＋4n≤42n·4n＋4＝12，当且仅当n＝2时等号成立，∴λ12.现实生活中涉及到银行利率、分期付款、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，常常考虑用数列知识加以解决．能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项，公差(比)，项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．其思路框架如下表：一般步骤：①审题；②建立数学模型；③求解；④检验．[例3]政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用bn表示该企业第n年的产值．设a1＝a(万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a(万元)；又设b1＝b(万元)，且企业的产值每年比上一年平均增长10%.用Pn＝anbn100ab表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？(1.15＝1.61051.16＝1.77161.17＝1.9487)[思路点拨]本题属于双数列问题，求解的关键在于理清各数列的特征量，不妨将本题的相关数据整理如下表：属性首项公差(比)投入an等差数列a2a产值bn等比数列b1＋10%＝1.1再紧扣“对社会的有效贡献率”的定义式Pn＝anbn100ab进行求解．[自主解答](1)∵a1＝a，b1＝b，a2＝a1＋2a＝3a.b2＝b1(1＋10%)＝1.1b，∴P1＝a1·b1100ab＝1%P2＝a2·b2100ab＝3a×1.1b100ab＝3.3%∴该企业第1年“对社会的有效贡献率”为1%；第二年“对社会的有效贡献率”为3.3%.(2)∵an＝a1＋2a(n－1)＝(2n－1)a(n∈N*)bn＝b1×(1＋10%)n－1＝1.1n－1b(n∈N*)．∴Pn＝2n－1a×1.1n－1b100ab＝(2n－1)·1.1n－1%(n∈N*)先证Pn＝f(n)＝(2n－1)×1.1n－1%为增函数．∵Pn＞0，Pn＋1Pn＝2n＋1×1.1n%2n－1×1.1n－1%＝2n＋12n－1×1.1＝(1＋22n－1)×1.1＞1，∴Pn＋1＞Pn，即Pn＝(2n－1)×1.1n－1%(n∈N*)为关于n的增函数．再验证P7＝13×1.16%＝13×1.13×1.13%≈23.03%＞20%，P6＝11×1.15%≈17.71%＜20%，故从第7年开始该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.该题给出的两个数列很明确，一个等差数列，一个等比数列，学生很容易推出Pn的关系，如何求解Pn20%，可能会遇到麻烦．函数思想[例4]在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．(1)试判断数列{1an}是否成等差数列；(2)设{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项和Sn；(3)若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．[解](1)由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列．……………………………（3分）(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝n1＋3n－22＝n3n－12.………………………（6分）(3)将an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，∴λ≤3n＋13n－23n－3，原命题等价于该式对n≥2恒成立．…（9分）设f(n)＝3n＋13n－23n－3，则f(n＋1)－f(n)＝3n＋13n－43nn－1＞0，f(n＋1)＞f(n)，∵n＝2时，f(n)的最小值f(2)为283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．……………………………（12分）[解法心得]解答本题的关键是建立目标函数f(n)，从而利用研究函数单调性的方法研究数列的单调性，求出f(n)的最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想分析突破．因此，函数不仅可以解决方程、不等式的问题，也可以解决数列的问题，而极端原理的应用也尤为重要．解：(1)由ynlogaxn＝2，得yn＝2logaxn，∴yn＋1－yn＝2logaxn＋1－2logaxn＝2logaxn＋1xn.∵{xn}为等比数列，∴xn＋1xn为定值，∴{yn}为等差数列．设数列{yn}的公差为d，则y6－y3＝3d＝12－18，∴d＝－2，∴y1＝y3－2d＝22，∴前n项和Sn＝22n＋nn－12·(－2)＝－n2＋23n，∴当n＝11或n＝12时，Sn取得最大值，且最大值为132.(2)∵yn＝22＋(n－1)·(－2)＝2logaxn，∴xn＝a12－n，∵an＝logxnxn＋1＝logaa11－nlogaa12－n＝11－n12－n＝1＋1n－12，又∵f(x)＝1＋1x－12在(13，＋∞)上是减函数，∴当n13(n∈N)时，anan＋1.