步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：8.4直线、平面垂直的判定与性质

第1页共18页§8.4直线、平面垂直的判定与性质[1.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.4.二面角的有关概念[来源:中国教育出版网zzstep.com](1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(√)(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，π2].(×)(4)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(5)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(×)第2页共18页(6)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.(√)2.(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确.3.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c，b⊥cB.α⊥β，a⊂α，b⊂βC.a⊥α，b∥αD.a⊥α，b⊥α[来源:中&教&网z&z&s&tep]答案C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.4.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直答案C解析在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.5.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个题型一直线与平面垂直的判定与性质第3页共18页例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，[来源:中国教育出版网zzstep.com]∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.第4页共18页如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；[来源:中国教育出版网zzstep.com](2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；(2)由BE∥AD可得线面平行；(3)证明直线CD⊥平面BEF.证明(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.[来源:中教网](2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，第5页共18页∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥底面PCD.思维升华(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.[来源:中国教育出版网zzstep.com](1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积.(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形.由GD＝5，DE＝4，得GE＝GD2－DE2＝3.由GC＝42，CF＝4，得FG＝GC2－CF2＝4，所以EF＝5.在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)解如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝EG·GFEF＝125.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝13S矩形CDEF·GH＝16.[来源:中国教育出版网zzstep.com]题型三直线、平面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，第6页共18页AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积.思维启迪(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离.(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD.又BD⊂面MBD，∴面MBD⊥面PAD.(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23.[来源:中。国教。育出。版网]在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形.在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高.∴S四边形ABCD＝25＋452×855＝24.∴VP—ABCD＝13×24×23＝163.思维升华垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则第7页共18页BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3.在Rt△CFB中，BC＝6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C1C.[来源:中国教育出版网zzstep.com](2)解三棱锥E－A1B1C1的体积V＝13AA1·S△A1B1C1＝2.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D21＋D1C21＝32.同理，EC1＝EC2＋CC21＝32，A1E＝A1A2＋AD2＋DE2＝23.故ECAS11＝35.设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝13·d·ECAS11＝5d，从而5d＝2，d＝105.题型四线面角、二面角的求法例4如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值.思维启迪(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角.(1)解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，[来源:zzstep.com]从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P—ABCD中，第8页共18页因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A