2014届高三数学(文)一轮总复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基础自主梳理考向互动探究第节两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1.sin45°cos15°+cos225°sin15°的值为(C)(A)-23(B)-21(C)21(D)23解析:sin45°cos15°+cos225°sin15°=sin45°cos15°-cos45°sin15°=sin30°=21.故选C.2.(2012年高考山东卷)若θ2π,4π,sin2θ=873,则sinθ等于(D)(A)53(B)54(C)47(D)43解析:∵θ2π,4π,∴2θπ,2π.∴cos2θ=-2sin12=-81,∴sinθ=22cos1=43.故选D.3.函数f(x)=sin23πx的最小正周期是.解析:f(x)=sin23πx=23π22cos1x=-21cos3π22x+21,故其最小正周期T=2π2=π.答案:π4.若tan1tan1=2014,则tan2α+2cos1=.解析:∵tan2α+2cos1=2cos2sin+2cos1=2cos12sin=222sincos)cos(sin=)sin)(cossin(cos)cos(sin2=sincoscossin=tan1tan1=2014.答案:20141.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(2)两角和与差的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(3)两角和与差的正切公式tan(α+β)=tantan1tantanZkkπ,2π,,,tan(α-β)=tantan1tantanZkkπ,2π,,.2.形如asinx+bcosx的式子的化简asinx+bcosx=22basin(x+)2222cos,sinbaabab其中.3.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα.(2)二倍角的余弦公式cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)二倍角的正切公式tan2α=2tan1tan2.两角和与差的三角函数公式的基本应用【例1】(1)(2012年高考重庆卷)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为()(A)-3(B)-1(C)1(D)3(2)若0α2π,-2πβ0,cos(4π+α)=31,cos(4π-2)=33,则cos(α+2)等于()(A)33(B)-33(C)935(D)-96思维导引:(1)由根与系数的关系求得tanα+tanβ和tanα·tanβ.然后代入和角公式即可;(2)注意到已知角与所求角之间的关系,利用角的变换求值.解析:(1)由根与系数的关系可知tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2.∴tan(α+β)=tantan1tantan=213=-3.故选A.(2)cos2=cos24π4π=cos4πcos24π+sin4πsin24π.∵0α2π,则4π4π+α4π3,∴sin4π=322.又-2πβ0,则4π4π-22π,则sin24π=36.故cos2=31×33+322×36=935,故选C.求三角函数值是高考考查的热点之一,求解此类问题的关键是:(1)拼凑角;(2)确定角的范围;(3)确定三角函数值的正负.变式训练1-1:(2013南昌模拟)已知cos6xπ=-33,则cosx+cos3xπ的值是()(A)-332(B)±332(C)-1(D)±1解析:cosx+cos3xπ=cosx+21cosx+23sinx=23cosx+23sinx=3xxsin21cos23=3cos6xπ=-1.故选C.两角和与差三角函数公式的逆用与变形用【例2】(1)计算sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为()(A)-22(B)22(C)23(D)1(2)若α是第二象限角,sin(π-α)=1010.求4πsin252cos82cos2sin82sin222的值.思维导引:(1)考虑到sin67°=cos23°,可逆用两角差的正弦公式求解;(2)对分子进行降幂,对分母展开,然后由已知条件求出cosα值代入计算.(1)解析:sin68°sin67°-sin23°cos68°=sin68°cos23°-cos68°sin23°=sin(68°-23°)=sin45°=22,故选B.(2)解:由sin(π-α)=1010得sinα=1010,又α是第二象限角,∴cosα=-10103.而4πsin252cos82cos2sin82sin222=4πsincos4πcossin252cos62cos22cos2sin82sin2222=cossin52cos6sin422=cossin32cos16sin4=cossincos3sin4.因此原式=10103101010103310104=-45.掌握好公式的正用是基本要求,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才算真正掌握了公式的应用.变式训练21:(2012衡阳模拟)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos(110°-x)的值为()(A)2(B)22(C)21(D)23解析:原式=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]=sin45°=22.故选B.两角和与差三角函数公式的综合应用【例3】已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(2-sinθ,cosθ),θ(π,2π),且|m+n|=528,求cos8π2的值.思维导引:(1)若已知两个向量的坐标,怎样求它们和的坐标?(将两个向量的横坐标、纵坐标分别相加即可)(2)若已知向量的坐标,如何求它的模?(若a=(x,y),则|a|=22yx)(3)角θ+4π与角2+8π之间是什么关系?(4)求三角函数值时怎样进行正、负的判断?(根据角的范围来判断)解:m+n=(cosθ-sinθ+2,cosθ+sinθ),|m+n|=22)sin(cos）2sin-cos（=)sin(cos224=4πcos44=24πcos1.24πcos1.由已知|m+n|=528,得cos4π=257.又cos4π=2cos28π2-1,∴cos28π2=2516.∵πθ2π,∴8π52+8π8π9.∴cos8π20,∴cos8π2=-54.三角函数经常与平面向量知识融合在一起,将某些三角函数式设置为向量的坐标,然后以向量满足的条件给出题设,要求解决其他三角函数问题.这类问题的关键是熟悉平面向量中相关的知识,如共线的条件,模的计算公式等,通过这些公式转化为三角函数问题,再利用有关公式求解.变式训练31:已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=552.(1)求cos(α-β)的值;(2)若0α2π,-2πβ0,且sinβ=-135,求sinα.解:(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).∵|a-b|=552,∴22)sin(sin)cos(cos=552,即2-2cos(α-β)=54,∴cos(α-β)=53.(2)∵0α2π,-2πβ0,∴0α-βπ,∵cos(α-β)=53,∴sin(α-β)=54,∵sinβ=-135,且-2πβ0,∴cosβ=1312,∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=54×1312+53×135=6533.【例1】(2011年高考广东卷)已知函数f(x)=2sin6π31x,xR.(1)求f(0)的值;(2)设α,β2π,0,f2π3=1310,f(3β+2π)=56,求sin(α+β)的值.解:(1)∵f(x)=2sin6π31x,∴f(0)=2sin6π031=2sin6π=-1.(2)∵f2π3=2sin6π2π331=2sinα=1310,∴sinα=135,又∵α2π,0,∴cosα=1312.f(3β+2π)=2sin6ππ2331=2sin2π=2cosβ=56,即cosβ=53,又∵β2π,0,∴sinβ=54,于是sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=135×53+1312×54=6563.【例2】已知0α4π,0β4π,且3sinβ=sin(2α+β),4tan2=1-tan22,证明:α+β=4π.证明:∵3sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,∴tan(α+β)=2tanα.又∵4tan2=1-tan22,∴tanα=2tan12tan22=21.∴tan(α+β)=2tanα=1.∵α+β(0,2π),∴α+β=4π.忽略角的范围导致增解【典例】已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,若α、β2π,2π,则α+β等于()(A)3π(B)3π或-3π2(C)-3π或3π2(D)-32π正确解析:由题意得tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4.∴tan(α+β)=tantan1tantan=4133=3.由条件可知tanα0,tanβ0,α、β2π,2π,∴α、β0,2π,∴-πα+β0.∴α+β=-3π2.故选D.解决本题易忽略题目中的隐含条件tanα0,tanβ0,而导致角的范围扩大,造成增解,错选B.点击进入限时训练