复数的表示及其运算

第一节复数及其表示第二节复变函数一、复数的概念及其表示二、复数的运算三、复球面及无穷大小结与思考一、复数的概念及其表示1.虚数单位:,i,.为了解方程的需要引入一个新数称为虚数单位.1:2在实数集中无解方程实例x对虚数单位的规定:;1)1(2i.)2(四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i——“复合”而成的数1;i即(3)虚数单位的特性:;1ii;12i;23iiii;1224iii……,14ni,14iin,124ni.34iin.nZ2.复数的代数形式的定义:.,,为复数或称对于iyxzyixzRyx;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.0,0为实数时当xixzyi:虚数单位虚部(Imaginary)记做：Im(z)=y实部（Real）记做：Re(z)=x3.两复数相等:当且仅当它们的实部和虚部分别相等..,212121yyxxzz,,222111iyxziyxz设即则说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,即复数不能比较大小!!!4、复数的几何表示,则可将复数与复平面上的点一一对应起来建立的观念，这称数点等同复数为的点表示法.(1)复数的点表示及复平面(,)xyxyxyoiyxzxx横轴即轴上的点对应复数的实部，所以也称轴为实轴；实轴虚轴由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.yy纵轴即轴上的点对应复数的虚部，所以也称轴为虚轴；(,)(,),zxiyxyxyoxy复数与有序实数对成一一对应，若把有序实数对作为平面上的坐标，建立直角坐标系,的模或绝对值该向量的长度称为z.22yxrz记为xyxyoiyxzPr显然成立：,zx,zy,yxz表示也可用复平面上的向量复数OPiyxz（2）复数的向量表示.性：长度、方向向量具有两个重要的属（ⅰ）复数的模（ⅱ）复数的辐角(argument).Arg,,,0zzOPzz记作的辐角称为为终边的角向量的以表示以正实轴为始边的情况下在说明.0无穷多个辐角有任何一个复数z,1是其中一个辐角如果).(π2Arg1为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地的全部辐角为那么z辐角不确定.xyxyoiyxzP辐角主值的定义:000ππ(0),Arg,arg.zzz在的辐角中把满足的称为的主值记作,0x)2arctan2(xy其中辐角的主值0zzarg,0,0yx,0,0yx.0,0yx,arctanxy,2π,πarctanxy,π（ⅲ）复数模的三角不等式2121zzzz21zz等号成立的充要条件是位于同一直线上．21,zz几何意义如图：xyo1z2z12zz12zz利用直角坐标与极坐标的关系sincosryrx复数可以表示成)sin(cosiriyxz5、复数的三角表示法利用Euler公式irez6、复数的指数表示法可以表示为：则复数)sin(cosirz,sincosiei欧拉资料小结本课学习了复数的有关概念、性质、四种表示形式及相关的运算.重点掌握复数的四种表示形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:(1)122;(2)12+2;zizi解zr)1(,4412,z在第三象限2arctanπ1233arctan5,6554cossin66zi564.ie(3)sincos;55zirz1244,,z在第二象限2arctan+π123arctan)3（-5,6554cossin66zi564.ie(2)122zi(3)sincos55zi,1zr显然52cos5sin,103cos52sin5cos,103sin33cossin1010zi.103ie参考答案0,和观察复数i,0i由复数的定义可知,0)1(i若,0iii则;,01矛盾即,0)2(i若,0iii则.,01矛盾同样有由此可见,在复数中无法定义大小关系.思考题1复数为什么不能比较大小？思考题2参考答案否.,0的情况特殊唯有z它的模为零而辐角不确定.是否任意复数都有辐角?二、复数的运算,,222111iyxziyxz设两复数1）两复数的和差:).()(212121yyixxzz2）两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz3）两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律保持一致1、复数的代数形式的四则运算实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.zz的共轭复数记为.,iyxziyxz则即：若2.共轭复数.实轴对称的复平面内的位置是关于在和一对共轭复数zzxyoiyxziyxz共轭复数的几何性质：共轭复数的运算性质:;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz222(3)ReIm=zzzzz（）（）；(4)2Re,2Imzzzzziz（）（）；5zzz（）为实数3、复数的三角形式和指数形式的乘除法)]sin()[cos(21212121irrzz则2121212121ArgArg)(Argzzzzzzrrzz),sin(cos1111irz设),sin(cos2222irz从而1）乘法ⅰ）三角形式的乘法两复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,2倍再把它的模扩大到r从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21zz,21旋转一个角按逆时针方向先把z.21zzz就表示积所得向量oxyr2r1r2z1zz说明由于辐角的多值性,2121ArgArg)(Argzzzz两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.12的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(212121ierrzz则,222ierz由此可将结论推广到n个复数相乘的情况:nzzz21),,2,1(,)sin(cosnkerirzkikkkkk设)]sin()[cos(212121nnnirrr.)(2121ninerrrⅱ）指数形式的乘法)]sin()[cos(21212121irrzz则2121212121ArgArg)(Argzzzzzzrrzz),sin(cos1111irz设),sin(cos2222irz从而2）除法ⅰ）三角形式的除法的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(212121ierrzz则,222ierzⅱ）指数形式的除法4、复数的幂与方根1）n次幂:,,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个nnzzzz.)sin(cos,ninrznnn有对于任何正整数1,,.nnznz如果我们定义那么当为负整数时上式仍成立,sincos,1izrz即的模当.sincos)sin(cosninin棣莫佛公式棣莫佛资料2）棣莫佛公式,次方根的的根称为，方程给定复数nzzwznnkinkrzwnnkπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk可以推得:3）n次方根.nz记为从几何上看,,nzn的个值就是以原点为中心1.nrnn为半径的圆的内接正边形的个顶点),sin(cosirz设),sin(cosiw推导过程如下：)sin(cosninn)sin(cosir,rn于是,coscosn,sinsinnπ,2kn显然),2,1,0(k,π2,1nkrn故nkinkrzwnnπ2sinπ2cos1),2,1,0(k,1,,2,1,0时当nk:个相异的根得到n,sincos10ninrwn,π2sinπ2cos11ninrwn.π)1(2sinπ)1(2cos11nninnrwnn当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.nninnrwnnπ2sinπ2cos1ninrnsincos1小结本课学习了复数的三种表示形式对应的运算.熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的实部与虚部时，用代数形式比较方便.对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以三角形式、指数形式来运算比较方便.在运算时学会灵活选用相关形式，力求使得计算最为简便.常用公式：棣莫佛公式nininsincos)sin(cosnkinkrznnπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nkn次方根的公式Euler公式cossin,iei12()1212121212[cos()sin()]izzrrirre21()2121212121[cos()sin()]izrriezrr122()3415iizii例设Re,Imzzzz求（）（）及122345iizii解：1125102525iii2582516168Re,Im2525zz（）（）12564)2582516)(2582516(iizz(12)(34)2(34)(34)5iiiiii112(2)(5)255(5)iiiii例2解,3cos3sin),31(2121iziz已知1cossin,33zi,6sin6cos2iz12cossin3636zzi,i63sin63cos21izz.2123i.2121zzzz和求32)3sin3(cos)5sin5(cos)3(iiz,5sin5cos5iei因)3sin()3(cos3sin3cosii,3ie32)3sin3(cos)5sin5(cosii所以3325)()(iiee,19ie故19sin19cosiz.19ie例3.14的值计算i解4sin4cos21ii424sin424cos2184kiki).3,2,1,0(k,16sin16cos280iw即,169sin169cos281iw,1617sin1617cos282iw.1625sin1625cos283iw.28圆的正方形的四个顶点的心在原点半径为这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w,0的球面点取一个与复平面切于原z,)(如图与原点重合球面上一点S作垂直于复平面的通过S.,为南极为北极称SN