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第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C_____0的点；(2)满足Ax＋By＋C_____0的点；(3)满足Ax＋By＋C______0的点．＝2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有_______的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有_______的符号．相同相反3．线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的______不等式(或方程)组成的不等式(组)线性目标函数关于x，y的_______解析式可行解满足线性约束条件的解_______可行域所有可行解组成的________最优解使目标函数取得________或________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题一次一次(x，y)最大值最小值最大值最小值集合1．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？【提示】最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是什么？【提示】(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.1．(人教A版教材习题改编)不等式组x－3y＋6≥0x－y＋20表示的平面区域是()【解析】x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及左下方部分，x－y＋20表示直线x－y＋2＝0右上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B所示部分．【答案】B2．如果点(1，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为()A．2B．1C．3D．0【解析】由题意知(6－8b＋1)(3－4b＋5)＜0，即(b－78)(b－2)＜0，∴78＜b＜2，∴b应取的整数为1.【答案】B3．(2012·广东高考)已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，x＋1≥0，则z＝x＋2y的最小值为()A．3B．1C．－5D．－6【解析】先画出直线l0：y＝－12x，平移直线l0，当直线过点A时z＝x＋2y的值最小，【答案】C由x＝－1，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2.∴A(－1，－2)，∴zmin＝－1＋2(－2)＝－5.【解析】不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，4．在平面直角坐标系中，不等式组x≥1，x＋y≤0，x－y－4≤0表示的平面区域的面积是________．由x＝1x＋y＝0得A(1，－1)【答案】1由x＝1x－y－4＝0得B(1，－3)由x＋y＝0x－y－4＝0得C(2，－2)，∴|AB|＝2，∴S△ABC＝12×2×1＝1.【解析】作不等式组表示的可行域，如图所示，作直线l0：3x－y＝0，并上下平移．当直线过点A、B时，z分别取得最大值、最小值．5．(2012·山东高考改编)设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是______．由x＋2y－2＝0，2x＋y－4＝0，得A(2，0)．由4x－y＋1＝0，2x＋y－4＝0.得点B(12，3)，∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×12－3＝－32.故z的取值范围是[－32，6]．【答案】[－32，6]若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，求k的值．【审题视点】画出不等式组表示的平面区域，直线y＝kx＋43过定点(0，43)，利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点，然后代入求k值．【尝试解答】由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部．y＝kx＋43恰过A0，43，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等两部分，∴直线y＝kx＋43一定过线段BC的中点D，易求C(0，4)，B(1，1)，∴线段BC的中点D的坐标为(12，52)．因此52＝k×12＋43，k＝73.1．解答本题的关键是根据直线y＝kx＋43过定点(0，43)，利用面积相等确定直线所经过的边界上的点．2．二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：(1)同号上，异号下．当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(2)直线定界、特殊点定域．应注意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点．(2012·福建高考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2【解析】首先作出约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m对应的可行域及直线y＝2x，如图，易知，直线x＝m过点A(1，2)时符合题意，即此时x＝m＝1为m的最大值．【答案】B【审题视点】明确目标函数z的几何意义，数形结合找最优解，代入求值．(2012·安徽高考改编)已知实数x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3.(1)求z＝x－y的最小值和最大值；(2)若z＝x2＋y2，求z的取值范围．【尝试解答】作约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3.满足的可行域，如图所示为△ABC及其内部．联立x＋2y＝3，2x＋y＝3.得A(1，1)．解方程组x＝0，2x＋y＝3，得点B(0，3)．(1)由z＝x－y，得y＝x－z.平移直线x－y＝0，则当其过点B(0，3)时，截距－z最大；当过点A(1，1)时，截距－z最小，即z最大．∴zmin＝0－3＝－3；zmax＝1－1＝0.(2)过O(0，0)作直线x＋2y＝3的垂线l交于点N.观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别达到最大与最小．又|ON|＝|0＋0－3|12＋22＝355，|OB|＝3.∴z的取值范围是[355，3]．1．本题求解的关键在于：(1)准确作出可行域；(2)明确目标函数的几何意义．2．(1)线性目标函数z＝ax＋by的几何意义与直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距有关，当b＞0时，直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距越大，z值越大；当b＜0时，情况相反．(2)常见的非线性目标函数的几何意义：y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2012·课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是()A．(1－3，2)B．(0，2)C．(3－1，2)D．(0，1＋3)【解析】如图，【答案】A根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2z－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【审题视点】题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A，B两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，故可以设出A、B两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数．【尝试解答】设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得目标函数为z＝7x＋12y.作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M时z取最大值．因此，点M的坐标为(20，24)．∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．1．求解本题的关键是找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题．为寻找各量之间的关系，最好是列出表格．2．解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．(2012·江西高考改编)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，求黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别是多少亩？【解】设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，由题意得设总利润为z，则z＝x＋0.9y.作可行域如图所示，得A(30，20)．当目标函数线l向右平移，移至点A(30，20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．∴黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时，一年种植的总利润最大．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．1.画平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－abx＋zb的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值．当b＜0时，结论与b＞0的情形恰好相反．从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想．求解的常见错误是忽视题目的约束条件与目标函数的几何意义导致错误．易错辨析之十忽视题目中的个别约束条件致误(2011·湖南高考)设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1，1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1，3)D．(3，＋∞)【错解】变形目标函数为y＝－1mx＋zm.作不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．当直线l：y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标函数取最大值．平移直线l，当l过点B时，z有最大值．【答案】C因此z＝x＋my的最大值zmax＝12＋m2.依题意，12＋m2＜2(m＞1)，得1＜m＜3.故实数m的取值范围是(1，3)．错因分析：(1)忽视条件m＞1，没能准确判定直线l的斜率范围，导致错求最优解，从而错得实数m的取值范围．(2)本题易出现不能正确画出可行域或错认为直线l过原点时，z取得最大值的错误．防范措施：(1)审清题意，不能忽视参数取值的影响．(2)对于题目中最值条件的确定至关重要，明确目标函数的最值与m的关系，且计算一定要准确，防止误选B、D的错误．【正解】变形目标函数为y＝－1mx＋zm.作不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)．∵m＞1，∴－1＜－1m＜0.因此当直线l：y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大