高三数学三角函数的应用

2010届高考数学复习强化双基系列课件24《三角函数-三角函数的应用》1.已知函数f(x)=tanx,x(0,),若x1,x2(0,),且x1x2.证明:[f(x1)+f(x2)]f().x1+x221222证:tanx1+tanx2=+sinx1cosx1sinx2cosx2sinx1cosx2+cosx1sinx2cosx1cosx2=sin(x1+x2)cosx1cosx2=2sin(x1+x2)=cos(x1+x2)+cos(x1-x2)∵x1,x2(0,),且x1x2,2∴2sin(x1+x2)0,cosx1cosx20且0cos(x1-x2)1.∴0cos(x1+x2)+cos(x1-x2)1+cos(x1+x2).∴tanx1+tanx2.2sin(x1+x2)1+cos(x1+x2)∴(tanx1+tanx2)tan.12x1+x22∴[f(x1)+f(x2)]f().12x1+x22典型例题由已知0t11,0t21,∴[f(x1)+f(x2)]f().12x1+x22另证:令tan=t1,tan=t2,2x12x2则(tanx1+tanx2)=,tan=.12(t1+t2)(1-t1t2)(1-t12)(1-t22)x1+x22t1+t21-t1t2故要证不等式等价于(t1+t2)(1-t1t2)(1-t12)(1-t22)t1+t21-t1t2.∴只需证明(1-t1t2)2(1-t12)(1-t22).即证1-2t1t2+(t1t2)21-t12-t22+(t1t2)2.即证(t1-t2)20.∵t1t2,∴(t1-t2)20成立.1.已知函数f(x)=tanx,x(0,),若x1,x2(0,),且x1x2.证明:[f(x1)+f(x2)]f().x1+x2212222.已知cos(+)=,≤,求cos(2+)的值.2443523解:∵≤,223∴≤+.443474∵cos(+)=0,35∴≤+.4234744∴sin(+)=-1-cos2(+)45=-.又cos2=sin(2+)2=2sin(+)cos(+)44=2(-)×3545=-,2524sin2=-cos(2+)24=1-2cos2(+)=1-2()235257=,∴cos(2+)=(cos2-sin2)422=(--)2225242575031=-2.另解∵≤,223∴≤+.443474∵cos(+)=0,35∴≤+.4234744∴sin(+)=-1-cos2(+)45=-.∵cos(+)=(cos-sin),422sin(+)=(cos+sin),422∴cos-sin=2,cos+sin=-2.3545解得sin=-2,cos=-.107210∴cos(2+)=cos[+(+)]444=coscos(+)-sinsin(+)4=-×-(-2)(-)21010735452.已知cos(+)=,≤,求cos(2+)的值.2443523注亦可由=(+)-等方法求出sin,cos后求值.445031=-2.3.已知O为坐标原点,OA=(2cos2x,1),OB=(1,3sin2x+a),其中,xR,aR,a为常数,若y=OAOB.(1)求y关于x的函数关系式f(x);(2)若x[0,]时,f(x)的最大值为2,求a的值;(3)指出f(x)的单调区间.2(2)f(x)=2sin(2x+)+a+1.6解:(1)由已知y=OAOB=2cos2x+3sin2x+a,∴f(x)=cos2x+3sin2x+a+1.6由2x+=得x=26[0,],2故当x=时,f(x)取最大值3+a.6由题设3+a=2,∴a=-1.(3)由2k-≤2x+≤2k+得:622k-≤x≤k+.36∴f(x)的单调递增区间为[k-,k+](kZ);63由2k+≤2x+≤2k+得:6223k+≤x≤k+.632∴f(x)的单调递减区间为[k+,k+](kZ).6324.若cos(+x)=,x,求的值.4354712171-tanxsin2x+2sin2x4∵cos(+x)=,3544∴sin(+x)=-1-cos2(+x)45=-.∴+x2.435解:∵x,471217有以下解法:解法1凑角处理∵cosx=cos[(+x)-]4444=cos(+x)cos+sin(+x)sin44=-.210∴sinx=-,tanx=7.10721-tanxsin2x+2sin2x∴=1-tanx2sinxcosx+2sin2x=-.752821010722(-)(-)+2(-)210721-7==sin2xtan(+x).4解法2先化简原式1-tanxsin2x+2sin2x=1-tanx2sinxcosx(1+tanx)而sin2x=-cos(2x+)24=1-2cos2(+x)=1-2()235257=,44tan(+x)=4cos(+x)sin(+x)43=-.∴原式257=×(-)43=-.7528解法3变式处理4又cos(+x)=,sin(+x)=-.35445∵cos(+x)=(cosx-sinx),422sin(+x)=(cosx+sinx),422∴cosx-sinx=2,cosx+sinx=-2.3545解得sinx=-2,cosx=-,tanx=7.1072101-tanxsin2x+2sin2x∴=1-tanx2sinxcosx+2sin2x=-.75282(-)(-)+2(-)2210107210721-7=应用题举例1.已知扇形的周长为30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解:设扇形的半径为r,圆心角为,面积为S,弧长为l,依题意得l+2r=30.则l=30-2r(0r15).∴S=lr=(15-r)r12(15-r)+r2≤[]2=56.25.当且仅当15-r=r即r=7.5时取等号.故当r=7.5时,S取最大值56.25.此时,l=15.∴==2.lr答:扇形的半径为7.5cm,圆心角为2rad时,扇形的面积最大,最大面积是56.25cm2.骏网一卡通骏卡充值中心圆茽琚2.已知一扇形的中心角为,所在圆的半径为R.(1)若=60º,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?解:(1)设扇形的弧长为l,该弧所在的弓形面积为S弓.∵=60º=,R=10cm,3∴l=(cm).310∴S弓=S扇形-S三角形=10-102sin60º3101212=50(-)(cm2).332(2)∵扇形的周长C=2R+l=2R+R,2+C∴R=.∴S扇形=R2=()212122+C=C2124+4+2=C2214++4≤C2214+24=.C216C216∴当且仅当=即=2(=-2舍去)时,该扇形有最大面4积cm2.ABCDPQRST3.如图所示,ABCD是一块边长为100m的正方形地皮,其中AST是一半径为90m的扇形小山,其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点在ST上,相邻两边CQ,CR落在正方形的边BC,CD上,求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.⌒解:连结AP,设PAB=(0º≤≤90º),延长RP,交AB于M,M则AM=90cos,MP=90sin.∴PQ=MB=100-90cos,PR=MR-MP=100-90sin.∴S矩形PQCR=PQPR=(100-90cos)(100-90sin)=10000-9000(sin+cos)+8100sincos令t=sin+cos(1≤t≤2),则sincos=.t2-12∴S矩形PQCR=10000-9000t+4050(t2-1)故当t=时,S矩形PQCR有最小值950m2;910当t=2时,S矩形PQCR有最大值(14050-90002)m2.=4050t2-9000t+5950.E=k(其中k是一个与电光强度有关的常数),问要使桌子边缘处最亮即E最大,应怎样选择电灯悬挂的高度h(指电灯离开桌面的距离)?4.在一张半径为2米的水平圆桌正中央上空挂一盏电灯,已知桌子边缘一点处的亮度为E,灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角及这一点到光源的距离r三者之间的关系为:r2sin解:由已知r=.cos24sincos2∴E=k(0).2∴E2=sin2cos416k232k2=2sin2cos2cos2332k2≤()32sin2+cos2+cos2108k2=.当且仅当2sin2=cos2时取等号,此时tan2=,tan=.1222∴当h=2tan=2时,E2最大,即E最大.故电灯悬挂的高度h为2米时,桌子边缘处最亮.hABCDE5.如图:某地要修建一横截面为梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面,若水渠断面面积为定值a,渠深8分米,则水渠的倾角为多少时,才能使修建成本最低?解:作CE⊥AD于E.设水渠横断面边长之和为l,则l=BC+2CD.∵ED=8cot,CD=,sin8∴由=a得:8(2BC+2DE)2BC=-8cot.8asin16∴l=-8cot+8a=+8×(0).8asin2-cos2sin2-cos令k=,则k0,且ksin+cos=2.∴k2+1sin(+)=2.∵sin(+)≤1,∴k2+1≥2.∴k≥3.3故当k=3,即=时,l最小,此时成本最低.EDFCABO6.平地上有一水渠,渠边是两条长100米的平行线段,渠宽AB长2米,与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧,圆弧中点为C,渠中水深为0.4米.(1)求渠中水有多少立方米(sin0.927=0.8)?(2)若要把水渠改挖(不得填土)成截面为等腰梯形的水渠,使渠的底面与地面平行,改挖后的渠底宽为多少时,所挖的土最少(结果保留根号)?解:(1)如图,依题意,CF=0.4,OE=1,OF=0.6.∴EF=0.8,DE=2EF=1.6.∵在△OEF中,sinEOF=0.8,∴EOC=0.927.∴EOD=20.927.∴S扇形DOE=20.9271212=0.927.而S三角形DOE=OFDE=0.48,12∴渠中有水100(0.927-0.48)=44.7(立方米).MNPO6.平地上有一水渠,渠边是两条长100米的平行线段,渠宽AB长2米,与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧,圆弧中点为C,渠中水深为0.4米.(2)若要把水渠改挖(不得填土)成截面为等腰梯形的水渠,使渠的底面与地面平行,改挖后的渠底宽为多少时,所挖的土最少(结果保留根号)?解:(2)如图,依题意,只需等腰梯形面积最小.设ONP=,则梯形面积S=(2cot+2csc2)12cos2+2sin2=.即Ssin2-cos2=2,S2+1sin(2-)=2(tan=).S1∵|sin(2-)|≤1,S2+12∴≤1.∴S≥3.∴S的最小值为3,此时=.6即sin(2-)=1.6∴=.33故MN=2OPcot=.323即改挖后的渠底宽为米.323解:如图,分两种情况讨论:AB=CD=a,AD=BC=b.7.有一块长为a,宽为b(ab)的矩形木板,在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱