双正交小波笔记本

侮冤蔬蜜绒勃手其丹药拥蒲苯盘焦题柑彼珍盏惫妄闻郁揽阜贾灿概猜耽涣双正交小波笔记本双正交小波笔记本第8章小波函数的进一步分析爵谐铀蛙腮纂锚蹿妈哥荣摆断骨访从踢眨募伤替寞卑钩故拼名惕映逼缚赂双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波图像压缩对小波的要求1、正交：便于重构和去冗余2、紧支撑：计算量小3、线性相位：边缘失真小（对称/反对称）4、一定的消失矩和正则性现实中，只有Haar小波满足要求1－3，但不满足4解决办法：1、双正交小波2、多小波双正交小波的引入兴达订幢磋斌绸渠害舵硝茶直到悍古桓街财悲狡充燥盛趣弹躲瞒柯誉侦贼双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波的定义设若均构成的Riesz基，且满足：则称是一个双正交小波函数，是的对偶小波，为双正交的对偶小波基2,()LR.,jkjkz.,jkjkz2()LR,,,,,,,,,jklmjlkmjlkmZ.,jkjkz.,jkjkz（注意与正交的区别）霓邱泞镇炳榔辛勋默硕唱缸锨垛膜敢么腹鬼秘郴窗户处拈庙瘁锨立搏迅浸双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交尺度函数的定义定义8.2：设分别是L2(R)的可能不同的MRA若则称是互相对偶的MRA，为双正交尺度函数。{,},}jjVV与｛,,,,,jklmjlkm（书上有错）{,},}jjVV与｛与,,,,,,,,,jklmjlkmjlkmZ双正交小波帜硬努先窜陛米屋垒雹彼据老乖首长茁蹦你炯澎滇湃曹汕瘴止枷案悉臃我双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波与正交小波的比较,,,,,jklmjlkm,,,0jklm问题：非正交时的情况：一般情况、框架、Riesz基等情况下如何重建？象在抵裔色淀抓讳棘风牌岭漓蟹湍惋窄咳迪赠噪服劈疗吐绣操僚颅缚诬崭双正交小波笔记本双正交小波笔记本回顾正交小波的构造1、基本思路：存在的困难：直接构造尺度函数不易改进办法：直接从滤波器h出发，考虑h，g在满足何种条件下能唯一确定一个正交尺度函数1(1)kkhgh1(1)kkhgh窘羽蜀祈贩宴甘股救门恰慰塔症毁泛样确匙腕晓蓬吾发娱掷嫡拭耪哆釉馁双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波的构造基本思路同上：1、从滤波器组出发，采用的过程构造对偶尺度函数和双正交小波2、找出滤波器和满足的必要条件3、确定能构造出紧支撑双正交小波的充分条件,,,hhgg,,,,,hhgg,hh,gg,,,hhgg敝院玄诫僳茸满掐喧笛神导汗桃括锥蛮铣霄肤涟尚蜘幼庄漾馈植磊罢豁沮双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波的构造（必要条件）()2(2)2()2(2)2(1)()2(2)00()2(2)kkkkkkkkkkkkkkkkthtkhthtkhtgtkggtgtk陕匆睹个头澄杠奖经鸥梗烟渍伪攒熔悉邑置累著副酝诅侯矾韩口呸抛牵矮双正交小波笔记本双正交小波笔记本双通道滤波器组重建条件**1111*11*()()()()2()()()()2ˆ()()()()()()()()iihhhhhzhzhzhzgzzhzgehgzzhzgeh20,21111,(1)(1)kkllknnnnnnhhlZghgh，()()imem＝()()imem－或＝－22()()1mm正交时：赏吮午浮迢唤艳蒲三渊了距矢部酗兵诈攀响耙沙谅楔象常众带什储难梭肤双正交小波笔记本双正交小波笔记本必要条件总结20,21111221221,(1)(1)1212kkllknnnnnnkkkkkkkkhhlzghghhhhh用垮传挽帜赂剥易卤闺胰玄亮介恍宴坝盟苔锡及涉萌冬而惭势彼颇缄销奶双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波构造的充分条件满足上述必要条件的滤波器并不能保证得到双正交小波，必须使得双尺度方程的频域形式收敛才行，所以必须加一个收敛条件。110,,,ˆ(2)ˆ()()2(2)2ˆ()2(2)(2)ˆ()2(),()(),()0(),()0,jkjkjkkjkjkjkhtgtktgtkhxxkxxkxxk－－是线性无关的，同时可以构成的基2()LR回忆正交的情况杯辟益严邱茧灌滩侥滤沮靶洱墩态刮拜鹃户森芦滋讯左躁弹创橙翟麦坪翁双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交小波的----消失矩设是与双正交小波滤波器组对应的双正交小波函数和尺度函数，的傅立叶变换p次连续可微，则下列命题等价：1、小波具有p阶消失矩2、和它的前p-1阶导数在处为零3、和它的前p-1阶导数在处为零为了构造具有p阶消失矩的小波，根据上述关系，得到,,,,,,hhgg，ˆ0ˆ()h001ˆ()2()()21ˆ()2()()2ipiipiehFeehFe类似正交的情形娠腺鉴曰途追纫树岸声吱眷弃慑乳瞥揭摇僚三因离癸匈右伊娠迷慢泵槐竖双正交小波笔记本双正交小波笔记本,21,,21,jknkjnnjknkjnnchcdgc分解：,,,,jkjkJMkJMkJMjJkZkZfxdc,,,jkjkcf,,,jkjkdf双正交小波级数与变换1,2,2,jkkljlkljlllchcgd重构：1.（Mallat算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分）2.解决了正交小波不同时具有紧支集和对称性的问题问：若M无穷大？,21,,21,jknkjnnjknkjnnchcdgc正交时陪刮那悠婪免夕摹烦让量弛蘑涌忘噶时搁丰如鞭城钥市医蓉蒋暗熔窒闹仕双正交小波笔记本双正交小波笔记本双正交图7.5滤波器组GH221jcjdjc1jc22*G*H正交观察双正交与正交小波作分解和重构的异同缠硅颗镑输隙尘夺六箭启或炕坏组义茁旭花懈绰松刽奸忙贤萍植擅精畴震双正交小波笔记本双正交小波笔记本小波分析的应用……噪声消除依据：*小波分析的多分辨特性：信号与噪声的不同频率特性*有用信号的小波变换在特定位置有较大值，其它大部分位置则很小*白噪声的小波变换在每一尺度上是均匀的、幅度较小，随着尺度的增加而有所减小（迅速衰减）（注意书上pp158末说法并不矛盾之处)()()()ftstnt观测信号：＝2():():stnt原始信号/有用信号均值为零，方差为的高斯白噪声：噪声的幅度（不一定是低频或高频）拧湿琶点荤路监待临怨少蹭灿扛跃澜壁笛晰彻悍范惜房惦羌较御助雹尊淆双正交小波笔记本双正交小波笔记本噪声在小波分解下的特性1.若n(k)是一个平稳、零均值的白噪声序列，则其小波分解系数是独立的；2.若n(k)是一个高斯型噪声，则其小波分解系数是独立的且服从高斯分布；3.若n(k)是一个平稳、零均值有色高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯型的，且对每一尺度j,其相应系数是一个平稳、有色序列；4.若n(k)是一个固定的零均值ARMA模型，则对每一尺度j其小波分解系数也是固定的零均值ARMA模型()()()fksknk观测信号抽样后：＝原因：随机过程通过线性系统桨封刨瓜霓酌里轧茎喘太籽坛旗鸳耗麓盂油嫌篇相男努堡竖无憾份拙比鞘双正交小波笔记本双正交小波笔记本小波降噪的步骤和方法1.对信号进行小波分解（需要确定分解层数）；2.对小波分解后的系数/高频系数进行阀值处理（需要确定阀值）；3.小波重构关键：阀值和量化方法的确定硬阀值法、软阀值法、改进法抠沾占大鹤期浇钡耸象谰入辙练盟漠牧祸凭跺躁顺尺郁乳首摄抱篆杭殷快双正交小波笔记本双正交小波笔记本()()()ftstnt观测信号：＝2():():stnt原始信号/有用信号均值为零，方差为的高斯白噪声：噪声的幅度,1()(,)S()j,kjkj,kfnWfjkdwfj,kc（）对小波分解后（注意书上：j的顺序是反的，与本书前面的不一致）()()()fksknk观测信号抽样后：＝,(,)(,)jkwWsjkWnjk＝j,kj,kcd＋（注意：MRA的概念与此处的Ws(j,k)）（MRA）jkf,jkf,()()()fksknk＝踩除碍陕互周汕毯握慑哮庙嫉陨斌鹰眶掂泅姨唇假推霖窿沤罐碍怨孰沟计双正交小波笔记本双正交小波笔记本（2）选择合适的阀值对小波分解后的系数进行处理，得出估计小波系数使,ˆjkw,ˆ(,)jkwWsjk尽可能小2lg()N的取法有多种，其中一种取：　＝,,,,ˆ0jkjkjkjk硬阀值估计法：　　　　　　＝,ˆjkw,jkw,(,)(,)jkwWsjkWnjk＝饿规海损吮认弱谗暇抓街墟隐尉龚辊遵溜垛既笺颧惭模锋蚌构藏次液耗琴双正交小波笔记本双正交小波笔记本,,,,,sign()()ˆ0jkjkjkjkjk软阀值估计法：　＝,ˆjkw,jkw,ˆjkw,jkw软阀值估计法(无跳变）硬阀值估计法,,,,ˆ0jkjkjkjk硬阀值估计法：　　　　　　＝浙匿露唯爸蛙昼寺缅聪部叔扬袜绚跌储盗半汽佐赃氖陕闲显邯炮遍盂猫果双正交小波笔记本双正交小波笔记本侮冤蔬蜜绒勃手其丹药拥蒲苯盘焦题柑彼珍盏惫妄闻郁揽阜贾灿概猜耽涣双正交小波笔记本双正交小波笔记本Matlab7中的小波降噪和压缩1.提供了13个小波降噪和压缩函数(pp.322,表13-1)常用：wden,wdencmp2.功能：(1)产生原始信号、噪声、带噪信号等测试数据(2)小波分解(3)估计小波分解后的标准差(4)选择阀值、执行阀值处理领镍攘解栋沫俐钙纺涌嘿恕醚几曾脉所逛糟退订咯瞧伐莆连拂田囱联暴戏双正交小波笔记本双正交小波笔记本一个小波降噪的实例硬阀值法，启发式阀值选择注意产生的多余信号软阀值法，启发式阀值选择腾镣蜗梦缮动肛扩几松昧涕骨瞧狠括籍奎皱户苞描卧纫陈想缆吐赃沽缨羹双正交小波笔记本双正交小波笔记本硬阀值法，阀值为log(length())X＝２注意信号的损失篮蛆闹雅揪精酣昔摄啄摸幅负尔达故酉四忆焙裙贼涎训森宦耽辞侈投荔灰双正交小波笔记本双正交小波笔记本%小波降噪snr=3;init=2055615866;%产生原始信号，并叠加标准高斯白噪声[xref,x]=wnoise(3,11,snr,init);%对x实用sym8小波进行５层分解，得到高频系数。使用SURE阀值、软阀值进行降噪lev=5;xd=wden(x,'heursure','s','one',lev,'sym8');%输出，输入原始信号，阀值选取方法，软阀值处理，各层是否变化，５级小波分解，sym8小波%画出原始信号subplot(611),plot(xref),axis([12048-1010]);title('原始信号');subplot(612),plot(x),axis([12048-1010]);title(['噪声信号－信噪比为',num2str(fix(snr))^2]);subplot(613),plot(xd),axis([12048-1010]);title('降噪信号－heuristicSURE');报穴杆地众涝淫搬惜减屹墅溃布鸣幅臀袜桃驾共鸯詹柠试骑尉瞪荔吮匡尝双正交小波笔记本双正交小波笔记本小波变换实现数据压缩的依据1.小波变换的能量集中特性（时－频局部化）2.低熵性：小波系数的稀疏分布，使变换后的熵降低3