高三数学分类计数原理

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§10.1分类计数原理与分步计数原理高三备课组一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的办法。nmmmN21分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法。nmmmN21特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点在于,一个与分类有关,一个与分步有关,如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。二、题型剖析例1:把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢?例2(1)如图为一电路图,从A到B共有条不同的线路可通电。AB8(2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是(3)甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项工程,乙公司承包1项,丙、丁各承包2项,问共有种承包方式?361680【思维点拔】解决这类题首先要明确:“完成一件事”指什么?如何完成这件事(即分步还是分类)?进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理。分步计数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可。分类计数原理中的“分类”要全面,不能遗漏。“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。例3(优化设计P172例1)、电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?【评述】在综合运用两个原理时,一般先分类再分步。例4(优化设计P173例2)、从集合{1,2,3,,10中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的和不等于11,这样的子集共有多少个?【评述】本题的关键是先找出和为11的5组数,然后利用分步计数原理求出结果。例5(优化设计P173例3)、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有________种.(以数字作答)120【评述】本题需抓住花圃布局的要求,看清图形中6个部分的关系;明确每个部分只种同一种颜色的花,相邻部分应种不同颜色的花;而且4种颜色的花都要种上,缺一不可.对这些条件要求,稍有疏忽、遗漏或曲解,都会引致解答出错.其次,应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序,关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密;此外,在每一分步或分类中,计数不出错;最后,乘法原理和加法原理的运用,以及数值计算还得无误,方能得出正确的答数.例6:已知集合A=},,,{4321aaaa,B=}3,2,1,0{,f是从A到B的映射.(1)从A到B总共有几个映射?(2)若B中每个元素都有原象,则可建立几个不同的映射?(3)若B中的元素0没有原象,则这样的映射有几个?4)()()()(4321afafafaf(5)若f满足,则这样的f又有几个?(4)若B中有一个元素没有原象,则这样的映射有几个?例7:四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不同的点,问共有多少种不同的取法?DCBA三、课堂小结:1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分类与分步,分类用分类计数原理,分步用分步计数原理。2.元素能重复的问题往往用计数原理。3.注意:类”间相互独立,“步”间相互联系。四、【布置作业】优化设计P173

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