D11-8一般周期函数的傅里叶级数

第八节一般周期的函数的傅里叶级数以2l为周期的函数的傅里叶展开机动目录上页下页返回结束第十一章一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换lxz将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式机动目录上页下页返回结束设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理.l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n机动目录上页下页返回结束,)()1(为奇函数如果xf则有,sin)(1nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn为其中系数),2,1(n,)()2(为偶函数如果xf则有,cos2)(10nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn0cos)(2为其中系数),2,1,0(n证明:令lxz,则令,)(zlf则))2(()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处))(xf变成是以2为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在f(x)的连续点处)xlxnxflldcos)(证毕机动目录上页下页返回结束说明:),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有机动目录上页下页返回结束例1.把周期为4函数，一个周期表示为展开成傅里叶级数;.解:2oyx2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos414)(nxf)...)12(2,....6,2,(2sin)1(1kxxxnnn在x=2k处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束)...)12(2,....6,2(0)(kxxf二、非周期函数的展开1。周期延拓的情形设函数f(t)在[-l,l)上满足Dirichlet条件为了将其展开为Fourier级数，需要将f(t)在[-l,l)以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为2l的函数F(t)使得F(t)在[-l,l)上与f(t)恒等，将F(t)展开成Fourier级数10)sincos(2)(nnnltnbltnaatF)1(而在[-l,l)的连续点处，有10)sincos(2)(nnnltnbltnaatf若t0是[-l,l)内的间断点，则在该点处，级数收敛于2)0()0(00tftf)2(2。非周期函数的周期性延拓如果函数f(t)只是定义在[0,l]上，且在[0,l]上满足Dirichlet条件，需要展开成Fourier级数，就要先在[-l,0）上补充定义，或者说构造一个新函数F(t)使得在区间[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法将F(t)展开成Fourier级数，当限制自变量在[0,l]上时，就得到f(t)的Fourier展开式一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点例2.把展开成傅里叶级数;.解:将f(x)作周期延拓,则有2oyx2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos414)(nxf2sin)1(1xnnn(22)x机动目录上页下页返回结束例3.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有2oyx2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos414)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在x=2k处级数收敛于何值?2oyx(2)将作偶周期延拓,2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xxa则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x2oyx作周期延拓,2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xxa则有1222)12(cos)12(181kxkk(22)x机动目录上页下页返回结束说明:此式对也成立,8)12(1212kk由此还可导出121nn8261212nn1222)12(cos)12(181)(kxkkxxf)20(x据此有2oyx机动目录上页下页返回结束)(tfto0d)1sin()1sin(ttntn例2.交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数2,它在na0dcossinttntE傅里叶级数.上的表达式为的周期是22机动目录上页下页返回结束000d2sintt时1n0d)1sin()1sin(ttntn2Eantnn)1cos()1(12E0tnn)1cos()1(1111)1(111)1(21nnnnEnn)1(1)1(21nEn,)41(22kEkn2机动目录上页下页返回结束tttEbdsinsin01ttntnEd)1cos()1cos(20)1()1sin(2ntnEbn0)1()1sin(0ntn022sin2ttEn1时机动目录上页下页返回结束由于半波整流函数f(t)Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2k次谐波的振幅为k越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.机动目录上页下页返回结束当函数定义在任意有限区间上时,方法1令,2abzx即2abxzzabzfxfzF,)2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回结束方法2令,azxzazfxfzF,)()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将代入展开式axz在即axz上的正弦或余弦级数机动目录上页下页返回结束)(zFz55例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设)55()10()()(zzzfxfzF将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故5052zbnzznd5sinnn10)1(),2,1(n则它满足收敛定5sin)1(10)(1znnzFnn)55(z机动目录上页下页返回结束利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxf2nbi1022nnnbiaa2nnbialxnielxnie0cncnc机动目录上页下页返回结束llxfl)(21llxxfld)(21200acllxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2,1(dnxlxnie注意到2nnnbacxd同理),2,1(nlxnie机动目录上页下页返回结束傅里叶级数的复数形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2,1,0(n因此得机动目录上页下页返回结束式的傅里叶级数.例4.把宽为,高为h,周期为T的矩形波展成复数形解:在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为Th内矩形波的函数表达式为022d)(1TTttuTc22Toyx22Th机动目录上页下页返回结束tetuTTtnid)(1222222d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n2inTThTniTnieeinh21Ttnie222机动目录上页下页返回结束为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a(x间断点)其中xlxnxfllldcos)(1xlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出机动目录上页下页返回结束思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k作业:P2561(1),(3);2(2);3从而便于计算系数和写出收敛域.,,时nnbakkba或则必须单独计算.习题课目录上页下页返回结束备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(91考研)解:y1ox12为偶函数,1)1(222nn因f(x)偶延拓后在展开成以2为周]1,1[x的和.故得机动目录上页下页返回结束得故8)12(1212kk121nn62机动目录上页下页返回结束作业:P2561(3);2(2)习题课目录上页下页返回结束