第五章 第1节 定积分的概念与性质

1定积分的概念与性质第一节一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、定积分的几何意义五、定积分的性质六、小结2abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题的提出)(xfy3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）4观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．5求曲边梯形面积的步骤：abxyoiix1x1ix1nxiiixfA)(、分割1niiAA1、近似2、求和3niiAA1niiixf1)(、取极限4iniixfA10)(lim}),,max{(nxxx21上任一点为],[,iiiiiixxxxx116实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．71、分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(3、求和iinitvS)(14、取极限},,,max{21ntttiniitvS)(lim10、近似2niiSS1)(1TS)(2TS)(1itS)(itS8上述两个问题的共性:1、解决问题的方法步骤相同:）取极限。）求和，（）近似，（）分割，（（4321、极限形式一样2iniixfA10)(lim曲边梯形面积：iniitvS)(lim10变速直线运动路程：9设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的定义定义10怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和11说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.12当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，则)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在三、存在定理区间],[ba上可积.badxxfA)(）曲边梯形面积（421TTdttVS)(变速直线运动路程13,)(],[01xfba上）在（baAdxxf)(曲边梯形的面积baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义abxyoA)(xfy,)(],[02xfba上）在（)(xfyyxoabA14dxxfba)(上变号，在）若（],[)(baxf3)(xfy下方的面积轴上方的面积x例如dxxsin015例1利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixx16nnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.3117原式nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1limninnin1sin1limnninin1sinlim1.sin10xdxixi例2将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分.18对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五、定积分的性质19badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质3假设bcabadxxf)(bccadxxfdxxf)()(.xyabc)(xfy20badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.推广：不论的相对位置如何,下式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则21dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，)(xfy22例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx23性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）24dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的性质5的推论：（2）25设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质626例2估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx27例3估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为最大点，2x为最小点,28,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx29如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式30在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。31例4设)(xf可导，且1)(limxfx，求dttfttxxx2)(3sinlim.解由积分中值定理知有],2,[xx使dttfttxx2)(3sin),2)((3sinxxfdttfttxxx2)(3sinlim)(3sinlim2f)(3lim2f.632证明：上不变号在且上连续，在、设例,],[)(],[)()(baxgbaxgxf5dxxgfdxxgxfbaba)()()()(广义积分中值定理证明：,)(时显然成立当0xg,)(0xg不妨设,],[)(上连续在因为baxf由最值定理知,)(Mxfmbadxxgxf)()(badxxgM)(dxxgmba)(bxa33Mdxxgdxxgxfmbaba)()()(],[ba在由界值定理知，至少存babadxxgdxxgxff)()()()(使dxxgfdxxgxfbaba)()()()(就是积分中值定理时当,)(1xg346例且上连续在设,)(,],[)(0xfbaxf.)(],[,)(00xfbadxxfba上证明在:证明反证法,)(0xf如果,)(],[000xfbax使则至少存在一点,)(00mxf不妨假设,)(点的连续性在由0xxf),,()(bax01当),,(000xxx的领域则存在,)(2mxf使得在此领域有dxxfdxxfdxxfdxxfbxxxxaba0000)()()()(xdxfxx00)(xdmxx0020m.矛盾35,,)(axx002不妨设为边界当),,(aaa的右半领域则存在,)(2mxf使得在此领域有dxxfdxxfdxxfbaaaba)()()(xdxfaa)(xdmaa202m.矛盾.)(],[0xfba上在36六、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限37（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．3．定积分的性质3823315P习题)4)(3(8),3)(2(6),2)(1(3),2(239思考题定积分性质中指出，若)(),(xgxf在],[ba上都可积，则)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？40思考题解答由)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上可积，不能断言)(),(xgxf在],[ba上都可积。为无理数，为有理数xxxf0,1)(为无理数，为有理数xxxg1,0)(显然)()(xgxf和)()(xgxf在]1,0[上可积，但)(),(xgxf在]1,0[上都不可积。例41一、填空题：1、如果积分