【金版教程】2017届高考数学(理)一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲平面向量的应用考纲展示三年高考总结1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是平面向量的有关应用．平面向量既有数，又有形，既有代数形式的向量加、减、数乘及数量积运算，又有向量加、减、数乘及数量积的几何意义，因此，高考的考查既有对向量的独立命题，也常与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合命题，解题时，注意向量的工具性及数形结合、转化与化归数学思想的运用.课时思维激活教材知识梳理和小题探究回扣教材1.向量在平面几何中的应用2.向量在三角函数中的应用向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题．3．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答．4．向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题．小题快做1.思考辨析(1)已知△ABC中，BC边最长，AB→＝a，AC→＝b，且a·b0，则△ABC的形状为锐角三角形．()(2)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.()(3)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为2π3，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为19.()√√√2．[2016·兰州诊断]已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A．0B．1C．2D.5解析因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝5，故选D.3．在△ABC中，AB→＝(cos18°，cos72°)，BC→＝(2cos63°，2cos27°)，则角B等于()A.π4B.3π4C.π3D.2π3解析AB→·BC→＝2cos18°cos63°＋2cos72°cos27°＝2sin27°cos18°＋2cos27°sin18°＝2sin(27°＋18°)＝2sin45°＝2.而|AB→|＝1，|BC→|＝2，∴cosB＝－AB→·BC→|AB→||BC→|＝－22，又B∈(0，π)，∴B＝3π4.故选B.4．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．27解析由题意知F3＝－(F1＋F2)，∴|F3|＝|F1＋F2|，∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°＝28，∴|F3|＝27.考点多维探究考点1向量在平面几何中的应用典例1(1)[2014·天津高考]已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE→·AF→＝1，CE→·CF→＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.712(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析(1)以AB→，AD→为基向量，则AE→·AF→＝(AB→＋λAD→)·(AD→＋μAB→)＝μAB→2＋λAD→2＋(1＋λμ)·AB→·AD→＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE→·CF→＝(λ－1)BC→·(μ－1)DC→＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56.(2)由原等式，得OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，根据平行四边形法则，知AB→＋AC→是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD→的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．向量与平面几何综合问题的解决与步骤(1)向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[提醒]用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.【跟踪训练】1．[2015·沈阳一模]在△ABC中，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE→·AF→＝()A.89B.109C.259D.269解析由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，化简得AB→·AC→＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以AB→与AC→垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由E，F为BC的三等分点知E23，23，F13，43，所以AE→＝23，23，AF→＝13，43，所以AE→·AF→＝23×13＋23×43＝109.2．[2016·郑州月考]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆切AC边于D点，O为圆心．若|AD→|＝2|CD→|＝2，则BO→·AC→＝________.－3解析以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方向为x轴、y轴的正方向)，则C(0,0)、O(1,1)、A(3,0)．设直角三角形内切圆与AB边切于点E，与CB边切于点F，则由圆的切线长定理可得BE＝BF，AD＝AE＝2，设BE＝BF＝x，在Rt△ABC中，可得CB2＋CA2＝AB2，即(x＋1)2＋9＝(x＋2)2，解得x＝3，故B(0,4)．∴BO→·AC→＝(1，－3)·(－3,0)＝－3.故答案为－3.考点多维探究考点2向量在解析几何中的应用典例2(1)[2016·江西八校联考]在平面直角坐标系中，点P是直线l：x＝－12上一动点，定点F的坐标为12，0，点Q为PF的中点，动点M满足MQ→·PF→＝0，MP→＝λOF→(λ∈R，O为坐标原点)，过点M作圆(x－3)2＋y2＝2的切线，切点分别为S，T，则MS→·MT→的最小值是()A.35B.359C.103D．－13(2)[2015·衡中三模]已知直线Ax＋By＋C＝0(其中A2＋B2＝C2，C≠0)与圆x2＋y2＝6交于点M、N，O是坐标原点，则OM→·MN→＝________.－10解析(1)如图所示，设圆(x－3)2＋y2＝2的圆心为N，连接MF，由题意可知|MP|＝|MF|，从而可知M点的轨迹方程为y2＝2x，连接MN，SN，TN，设∠SMN＝∠TMN＝θ，可知MS→·MT→＝|MS→||MT→|cos2θ＝2tanθ2cos2θ＝21－sin2θsin2θ·1－2sin2θ＝22sin2θ＋1sin2θ－3，设My22，y，则sin2θ＝2|MN|2＝2y22－32＋y2＝214y2－42＋5≤25，∴当sin2θ＝25时，MS→·MT→＝22sin2θ＋1sin2θ－3取得最小值35.(2)取MN的中点P，则MP→＝12MN→，MN→⊥OP→.又|OP→|＝|A×0＋B×0＋C|A2＋B2＝1，|OM|＝6，∴OM→·MN→＝(OP→＋PM→)·MN→＝PM→·MN→＝－2|PM→|2，而|PM→|2＝|OM→|2－|OP→|2＝5，∴OM→·MN→＝－2×5＝－10.向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.【跟踪训练】3．[2016·广东七校联考]如图，已知△OPQ的面积为S，且OP→·PQ→＝1.(1)若S∈12，32，求向量OP→与PQ→的夹角θ的取值范围；解(1)设OP→与PQ→的夹角为θ，则PO→与PQ→的夹角为π－θ，∵S＝12|OP→|·|PQ→|sin(π－θ)＝12|OP→||PQ→|sinθ＝12|OP→||PQ→|cosθtanθ＝12OP→·PQ→tanθ，又OP→·PQ→＝1，S∈12，32，∴12tanθ∈12，32，tanθ∈(1，3)，得θ∈π4，π3.(2)设|OP→|＝m，S＝34m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当m≥2时，求|OQ→|的最小值，并求出此时的椭圆方程．解(2)设Q(x0，y0)，则S＝12m·|y0|＝34m，∴y0＝±32，∴OP→＝(m,0)，PQ→＝(x0－m，±32)，由OP→·PQ→＝m(x0－m)＝1，得x0＝m＋1m，∴Qm＋1m，±32，∴|OQ→|＝m＋1m2＋94，令f(x)＝x＋1x，f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(m)＝m＋1m在[2，＋∞)上为增函数，∴当m＝2时，|OQ→|取最小值2＋122＋94＝342，此时P(2,0)，椭圆的另一焦点为P′(－2,0)，则椭圆长轴长，2a＝|QP→|＋|OP′→|＝52－22＋322＋52＋22＋322＝210，∴a＝10，b＝10－4＝6，故椭圆方程为x210＋y26＝1.考点多维探究考点3向量在三角函数中的应用利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点，以选择题、填空题或解答题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度.命题角度1利用向量数量积求值典例3[2015·济南模拟]设向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0αβπ，若以向量a＋b与a－2b为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.14解析由题意知，|a＋b|＝|a－2b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－4a·b＋4b2，所以2a·b＝b2，即4cos(β－α)＝1，所以cos(β－α)＝14.命题角度2向量与三角函数图象与性质结合典例4[2016·大庆质检]如图为函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图象，B，C分别为图象的最高点和最低点，若AB→·BC→＝|AB→|2，则ω＝()A.π3B.π4C.π6D.π12解析由题意可知|BC→|＝2|AB→|，由AB→·BC→＝|AB→|2知－|AB→|·|BC→|cos∠ABC＝|AB→|2，∠ABC＝120°，过B作BD垂直于x轴于D，则|AD→|＝3，T＝12，ω＝2πT＝π6，故选C.命题角度3向量与解三角形结合典例5[2016·西安八校联考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2A＋B2＋cos2C＝1.(1)求角C的大小；解(1)∵2sin2A＋B2＋cos2C＝1，∴cos2C＝1－2sin2A＋B2＝cos(A＋B)＝－cosC，∴2cos2C＋cosC－1＝0，∴cosC＝12或cosC＝－1，∵C∈(0，π)，∴