第三章趋势面分析

第三章地理学中的经典统计分析方法第6节趋势面分析方法趋势面分析的用途趋势面分析的一般原理趋势面模型的适度检验趋势面分析应用实例趋势面分析的软件实现一、趋势面分析的用途趋势面分析(trendsurfaceanalysis,TSA)的主要功能是找出研究区域内变量的空间分布格局。描述地理要素的空间分布及变化趋势（如地质勘探、海底地形、生态环境、经济要素的空间分布、评估等等）。许多现象在空间都具有复杂的分布特征，它们常常呈现为不规则的曲面。欲研究这些现象的空间分布趋势，就要用适当的数学方法将现象的空间分布及其区域变化趋势模拟出来，这就用到趋势面分析方法。趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。进行空间插值.是空间内插的一种方法。在区域内通过已知点的数据，推求任意点数据的方法称为空间数据的内插。在其他学科的应用（工程技术、传染病学、化学等）二、趋势面分析的一般原理定义：趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上就是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。只不过多元线性回归分析考察的是多个自变量因素对因变量的影响程度，而趋势面分析是将三维坐标系中坐标点x,y作为自变量，点z的值作为因变量来考察这个z值在空间上的变化趋势。目的：找到一个空间趋势面去拟合地理要素的实际分布面。空间趋势面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理数据在大范围内的空间变化趋势。它与实际上的地理曲面不同，它只是实际曲面的一种近似值。趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。实际曲面=趋势面+剩余曲面。趋势面反映了区域性的变化规律，它受大范围的系统性因素影响，属于确定性因素作用的结果。而剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机因素的影响。二、趋势面分析的一般原理趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。观测值=确定性函数值+随机性函数值=趋势值+剩余值我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。二、趋势面分析的一般原理（一）建立趋势面模型设某地理要素的实际观测数据为，趋势面拟合值为，则有式中：εi即为剩余值（残差值）。显然，当（xi，yi）在空间上变动时，（3.6.1）式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。,n)1,2,)(i,y(xziii),y(xziiiˆiiiiiiiyxzyxz),(ˆ),(（3.6.1）趋势面分析的核心从实际观测值出发推算趋势面，使得残差平方和趋于最小，即min)],(ˆ),([1212niiiiiiiniyxzyxzQ以此来估计趋势面参数。这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。多项式趋势面的形式①一次趋势面模型②二次趋势面模型③三次趋势面模型yaxaaz21025423210yaxyaxayaxaaz25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxa（3.6.2）（3.6.3）（3.6.4）（二）估计趋势面模型的参数实质根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平方和最小。过程①将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归模型。令则ppxaxaxaaz22110ˆ,,,,,2542321yxxyxxxyxxx②其残差平方和为nipipiiiniiixaxaxaazzzQ122211012)]([]ˆ[（3.6.5）③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并令其等于0，得正规方程组(式中为p+1个未知量）paaa,,,10niipininipipippiinipiniiininiipipiiniiniininipipizxxxaxxaxazxxxaxxaxazxaxana111111011111111110111110............（3.6.6）一般采用消元法求解正规方程组。解此正规方程组，即得p＋1个系数a0，a1，…，ap。带入原拟合模型，即得到趋势面方程。三、趋势面模型的显著性检验趋势面拟合适度的R2检验趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面适度的逐次检验趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。这可以通过以下检验来完成：（一）趋势面拟合适度的R2检验趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模型拟合优度的重要指标。一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。即RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)ˆ()ˆ(越大（或越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。记越大，趋势面的拟合度就越高。为剩余平方和，它表示随机因素对离差的影响，为回归平方和，它表示自变量对因变量的离差的总影响。niiiDzzSS12)ˆ(niiRzzSS12)ˆ(RSSDSSTDTRSSSSSSSSR122R（3.6.9）（二）趋势面拟合适度的显著性F检验趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验。方法：是利用变量z的总离差平方和中回归平方和与剩余平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之间的回归关系是否显著。即结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα，若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著；反之则不显著。1//pnSSpSSFDR（3.6.10）（三）趋势面适度的逐次检验方法(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方程的回归平方和之差;(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项式次数增高所产生的回归均方差;(3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表3.6.1。资源与环境科学系罗庆研制表3.6.1多项式趋势面由K次增高至（K+1）次的回归显著性检验离差来源平方和自由度均方差F检验（K+1）次回归p（K+1）次剩余n–p–1K次回归qK次剩余n–q–1由K次增高至（K+1）次的回归p–q总离差SST)1(KRSS)1(KDSSpSSMSKRKR/)!()1()1/()!()1(pnSSMSKDKD)1()1(/KDKRMSMS)(KRSS)(KDSSqSSMSKRKR/)()()1/()()(qnSSMSKDKD)()(/KDKRMSMS)1()(/KDIRMSMS)/()()(qpSSMSIRIRKRKRIRSSSSSS)1()(四、趋势面分析应用实例某流域1月份降水量与各观测点的坐标位置数据如表3.6.2所示。下面，我们以降水量为因变量z，地理位置的横坐标和纵坐标分别为自变量x、y，进行趋势面分析，并对趋势面方程进行适度F检验。表3.6.2流域降水量及观测点的地理位置数据序号降水量Z/mm横坐标x/104m纵坐标y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55建立趋势面模型(1)首先采用二次多项式进行趋势面拟合，用最小二乘法求得拟合方程为22070.8357.0558.3787.29438.17998.5yxyxyxz236.6,839.02FR解题步骤图3.6.1某流域降水量的二次多项式趋势面(2)再采用三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为xyxyxz166.33389.8130.130557.37810.482054.6,965.02FR32232785.9566.2138.6133.4740.62yxyyxxy图3.6.2某流域降水量的三次多项式趋势面(1)趋势面拟合适度的R2检验:根据R2检验方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数为R22=0.839，三次趋势面的判定系数为R32=0.965，可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。模型检验(2)趋势面适度的显著性F检验:根据F检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势面的F值分别为F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。显然，，故二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著。因此，F检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。53.4)6,5(05.02FFa4.19)2,9(05.0F22FF33FF。资源与环境科学系罗庆研制趋势面比较：在二次和三次趋势面检验中，对两个阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方差分析计算结果见表3.6.3。(3)趋势面适度的逐次检验：离差来源平方和自由度均方差F检验三次回归三次剩余二次回归二次剩余由二次增高至三次的回归1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3二次和三次趋势面回归模型的逐次检验方差分析表分析：从二次趋势面增加到三次趋势面，F3→2=1.779。在置信度水平α=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F3→2F0.05(4,2)=6.94，故将趋势面拟合次数由二次增高至三次，对回归方程并无新贡献，因而选取二次趋势面比较合适。这也进一步验证了趋势面拟合适度的显著性F检验的结论。五、可用软件Matlab6.0Sas8.0Arcview,Arcinfo趋势面分析模块实际应用中，趋势面分析具体计算方法步骤：1、以原始数据列表2、等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点入坐标3、用spss软件建立并选择趋势面回归方程即选取模型（xy等二次或三次项可通过数据转换，用compute功能产生新的变量，建立二元高次多项式，选取强迫进入法进行回归。4、模型检验5、用matlab或arcgis绘制趋势面分析图资源与环境科学系罗庆研制资源与环境科学系罗庆研制1202.29资源与环境科学系罗庆研制需要注意的问题在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，而在外推和内插时则效果较差。趋势面分析虽然是一种多元分析的数学工具,实际上却只能对单一的原始数据进行处理,基本上是一种一元分析方法。思考题：趋势面分析的基本原理是什么？与一般回归分析的步骤有哪些不同？除了多项式形式以外，是否可以用其他函数形式拟合趋势