【2012优化方案】数学 必修2 第二章章末综合检测

(时间：120分钟；满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在题中横线上)1．直线l过点A(1，|t|)和点B(－2,1)，当________时，直线的倾斜角为钝角．解析：表示出直线的斜率k＝1－|t|－2－1，由直线的倾斜角为钝角得1－|t|－3＜0，求得－1＜t＜1.答案：－1＜t＜12．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：ax＋6y＝5间的距离为________．解析：由l1∥l2得a3＝64，a＝92，所以l2的方程为3x＋4y－103＝0.l1、l2间的距离d＝|－2＋103|5＝415.答案：4153．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最大，则直线l的方程为________．解析：只有当l⊥AB时符合要求，∵kAB＝4－23－－3＝13，∴l的斜率为－3.∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.答案：3x＋y－13＝04．设点P(x，y，z)关于原点的对称点为Q，则PQ＝________.解析：点P(x，y，z)关于原点的对称点为Q(－x，－y，－z)，则PQ＝2x2＋y2＋z2.答案：2x2＋y2＋z25．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆上，则实数a等于________．解析：依题意可知，直线2x＋y－1＝0过圆心(－2，－a2)，则2×(－2)－a2－1＝0，∴a＝－10.答案：－106．圆x2＋y2＋4y－1＝0关于原点(0,0)对称的圆的方程为________(标准方程)．解析：先求出圆心(0，－2)关于原点的对称点(0,2)，再让半径相等即可．答案：x2＋(y－2)2＝57．对于任意实数λ，直线(λ＋2)x－(1＋λ)y－2＝0与点(－2，－2)的距离为d，则d的取值范围为________．解析：无论λ取何值，直线都过定点(2,2)，而点(2,2)与点(－2，－2)的距离为42，又点(－2，－2)不在已知直线上，故d＞0，所以0＜d≤42.答案：0＜d≤428．圆x2＋y2－2x－3＝0与直线y＝ax＋1交点的个数为________．解析：直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，而02＋12－2×0－3＜0，即点在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点．答案：29．(2010年高考课标全国卷)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．解析：由题意知A、B两点在圆上，∴直线AB的垂直平分线x＝3过圆心．又圆C与直线y＝x－1相切于点B(2,1)，∴kBC＝－1.∴直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.y＝－x＋3与x＝3联立得圆心C的坐标为(3,0)，∴r＝BC＝3－22＋0－12＝2.∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝210．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A、C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标是________．解析：设B(x，y)，根据题意可得kAC·kBC＝－1BC＝AC，即3－43－0·y－3x－3＝－1x－32＋y－32＝0－32＋4－32.解得x＝2y＝0或x＝4y＝6，∴B(2,0)或B(4,6)．答案：(2,0)或(4,6)11．已知直线y＝12x＋b(b≠0)与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为原点)小于等于1，那么b的取值范围是________．解析：令x＝0，则y＝b，∴点B坐标是(0，b)；令y＝0，则x＝－2b，∴点A坐标是(－2b,0)．∴△AOB的面积S＝12·|b|·|－2b|＝b2≤1，∴－1≤b≤1且b≠0.答案：－1≤b≤1且b≠012．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x＝4－y2与直线x＝m有且只有一个公共点，则实数m等于________．解析：∵曲线x＝4－y2，即为x2＋y2＝4(x≥0)．其图形如图所示的半圆．∴直线x＝m与半圆有且只有一个公共点时m＝2.答案：213．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为________．解析：两圆方程相减得相交弦所在直线为x＋y＋a＋b＝0，∴弦长＝21－a－b22，∴a＝b时，弦长最大为2.答案：214．直线x－y＋1＝0与2x－2y－1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是________．解析：∵两平行直线间的距离即为圆的直径．∴2R＝|1＋12|2＝324，∴R＝328，∴S圆＝πR2＝932π.答案：932π二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知直线l的方程是3x＋4y－12＝0，求分别满足下列条件的l′的方程：(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；(2)l′与l垂直，且l′与坐标轴围成的三角形面积为4.解：(1)设所求直线的方程为3x＋4y＋t＝0，将(－1,3)代入上式得－3＋12＋t＝0，有t＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.(2)设所求直线方程为4x－3y＋C＝0，则它与坐标轴的交点分别为－C4，0，0，C3，∴S＝12－C4C3＝4，C＝±46，∴所求直线方程为4x－3y±46＝0.16．(本小题满分14分)如图，已知△ABC在第一象限中，A(1,1)、B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边、BC边所在直线的方程．解：(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.(2)由题图可知，kAC＝tan60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵kBC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.17．(本小题满分14分)已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边方程．解：由x－y＋1＝0，2x＋y＋2＝0，得x＝－1，y＝0，∴中心坐标为(－1,0)．∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310，设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∵正方形中心到各边距离相等，∴|－1＋m|10＝310和|－3＋n|10＝310，∴m＝4或m＝－2(舍)，或n＝6或n＝0.∴其他三边方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.18．(本小题满分16分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求其中面积最大时圆的方程；(2)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．解：(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－17＜t＜1.∵r＝－7t2＋6t＋1＝－7t－372＋167，∴t＝37∈－17，1时，rmax＝477，此时圆面积最大，所对应的圆的方程是x－2472＋y＋13492＝167.(2)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)4t2＋16t4＋9＜0时，点P恒在圆内．∴8t2－6t＜0，即0＜t＜34.19．(本小题满分16分)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求实数m的取值范围；(2)若直线l：x＋2y－4＝0与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．解：(1)由x2＋y2－2x－4y＋m＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，故5－m＞0，即m＜5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．直线OM，ON的斜率显然都存在，由OM⊥ON，得y1x1·y2x2＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.①由x＋2y－4＝0，x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得5y2－16y＋m＋8＝0.又因直线l与圆C交于M，N两点，所以Δ＝162－20(m＋8)＞0，得m＜245，且y1＋y2＝165，y1y2＝m＋85，所以x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2＝4m－165.代入①，得m＝85，满足m＜245.所以m＝85.20.(本小题满分16分)如图，圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB；(2)当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；(3)设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．解：(1)如图所示，过点O做OG⊥AB于G，连结OA，当α＝135°时，直线AB的斜率为－1，故直线AB的方程为x＋y－1＝0，∴OG＝|0＋0－1|2＝22.又∵r＝22，∴GA＝8－12＝152＝302，∴AB＝2GA＝30.(2)当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，此时kOP＝－2，∴AB的点斜式方程为y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.(3)设AB的中点为M(x，y)，AB的斜率为k，OM⊥AB，则y－2＝kx＋1，y＝－1kx，消去k，得x2＋y2－2y＋x＝0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2－2y＋x＝0.