2.11 导数与函数的单调性、极值、最值-高考领航2016年高考理数大一轮复习学案(人教版)

第二章基本初等函数、导数及其应用第11课时导数与函数的单调性、极值、最值高三总复习.数学（理）考点一利用导数研究函数的单调性考点二利用导数求函数极值考点三函数的最值考点■规范答题•系列■应考迷津•展示教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考纲·展示1.利用导数研究函数的单调性或求函数的单调区间．2.利用导数的单调性求解参数的取值范围问题．3.求函数的极值或最值，由函数的最值求参数的值(范围)．4.通过求函数的极值来研究函数的恒成立问题．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测一、函数的单调性在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为．增函数减函数教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测一、函数的单调性[自测1]函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)A教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测一、函数的单调性[自测2](教材改编)函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增A教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测一、函数的单调性[自测3]函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[－3，＋∞)教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测二、函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)0f′(x)0教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测二、函数的极值2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)0f′(x)0教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测二、函数的极值[自测4]若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5D教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测二、函数的极值[自测5](教材改编)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．2教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测三、函数的最值1．在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答教材梳理基础自测三、函数的最值[自测6]函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是__________．y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝23.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f23＝－827，f(2)＝8.所以最大值为8.8教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性{突破点1}确定定义域、正确求导单调区间是定义域的子集(1)函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)内单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)内单调递减．(2)f′(x)()0在(a，b)内成立是f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充分条件．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性1．函数f(x)＝x2＋2mlnx(m0)的单调递减区间为()A．(0，＋∞)B．(0，－m)C．(－m，＋∞)D．(0，－m)∪(－m，＋∞)教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性选B.由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为m0，则f′(x)＝2x＋－mx－－mx.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，－m)－m(－m，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，－m)，单调递增区间是(－m，＋∞)．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性2．(2015·山东名校联考)已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx，其中a为常数且a≠0.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(1)当a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1x－4x＋3＝－4x2＋3x＋1x＝－4x＋1x－1x(x＞0)，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．(2)由题易得f′(x)＝3a－4x＋1x(x＞0)，因为函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，所以在区间[1,2]上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，即3a－4x＋1x≥0或3a－4x＋1x≤0在x∈[1,2]时恒成立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x(1≤x≤2)，即3a≥(4x－1x)max或3a≤(4x－1x)min，其中1≤x≤2.教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性令h(x)＝4x－1x(1≤x≤2)，易知函数h(x)在[1,2]上单调递增，故h(1)≤h(x)≤h(2)．所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥4×2－12＝152，3a≤4×1－11＝3，解得a＜0或0＜a≤25或a≥1.故a的取值范围为(－∞，0)∪(0，25]∪[1，＋∞)．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性由基本初等函数所构成的函数fx，求它的单调区间时，先要确定函数fx的定义域，再对函数fx求导得到导函数f′x，最后求解不等式，即解不等式f′x0，得出函数fx的单调递增区间；解不等式f′x0，得出函数fx的单调递减区间.求解这类问题必须注意函数的定义域限制，如果已知fx在[a，b]上是增函数，则f′x≥0恒成立，如果已知fx在[a，b]上是减函数，则f′x≤0恒成立.教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性点击图片免费观看视频微课......教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性{突破点2}对含参数的函数，注意分类讨论研究导数正负如果函数中的参数影响解不等式f′(x)0，(f′(x)0)就要视其情况分类讨论．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性3．已知函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a.(a∈R)，求f(x)的单调区间．x∈R，f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝2a，x2＝2，当2a2时，即a1时由f′(x)0得x2a或x2；由f′(x)0得2x2a.当2a＝2时，a＝1时，f′(x)≥0恒成立；当2a2即a1时，由f′(x)0得x2或x2a；由f′(x)0得2ax2.教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性综上所述，当a1时，增区间为(2a，＋∞)，(－∞，2)；减区间为(2,2a)．当a＝1时，增区间为(－∞，＋∞)，无减区间．当a1时，增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)，减区间为(2a,2)．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性4．(2014·高考大纲全国卷)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．①若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1成立，故此时f(x)在R上是增函数．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性②由于a≠0，故当a1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1＋1－aa，x2＝－1－1－aa.若0a1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x∈(x2，x1)时，f′(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．若a0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；当x∈(x1，x2)时，f′(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性(2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围．(2)当a0，x0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋30，故当a0时，f(x)在区间(1,2)上是增函数．当a0时，f(x)在区间(1,2)上是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－54≤a0.综上，a的取值范围是－54，0∪(0，＋∞)．教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点一利用导数研究函数的单调性一般是在解不等式f′x0f′x0时出现分类讨论，影响的原因即为讨论的因素，针对参数分类要不重不漏.教材梳理基础自测首页上页下页尾页考点突破题型透析素能提升应考展示课时训练规范解答考点突破题型透析考点二利用导数求函数极值{注意点1}导函数f′(x)＝0的根x并不一定