2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式

第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式三年3考高考指数:★★1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.2.理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题;3.理解会用数学归纳法证明贝努利不等式(1+x)n＞1+nx(x＞-1,x≠0,n为大于1的自然数).了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立.1.利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、三角、基本不等式联系在一起综合考查.2.数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查，是高考对本节内容考查的重点，也是难点.1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法和作商比较法两种.(1)作差比较法的理论依据是ab⇔;ab⇔；a=b⇔.(2)作商比较法的理论依据是b0,1⇒;b0,1⇒.a-b0a-b0a-b=0abababab【即时应用】(1)思考：作差比较法和作商比较法主要适合的类型是什么？提示:①作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.②作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式的证明.(2)已知ab-1,则的大小关系是_________.【解析】∵ab-1,∴a+1b+10,∴.答案:11a1b1与1b11a11a11b12.综合法与分析法(1)综合法一般地，从出发，利用、公理、、性质等，经过一系列的、而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法(2)分析法证明命题时，从出发，逐步寻求使它成立的_________，直至所需条件为或____________________（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种__________的思考和证明方法.要证的结论条件已知条件一个明显成立的事实充分执果索因【即时应用】(1)思考：用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示:综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立.分析法：BB1B2…BnA(步步寻求不等式成立的充分条件).总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法.(2)已知等比数列{an}的各项均为正数,且公比q≠1,若则P与Q的大小关系为____________.【解析】由等比数列的性质,a2a9=a4a7,由已知a20,a90,a2≠a9,∴P===Q.答案:P＞Q2947aaP,Qaa,229aa247aa29aa3.反证法（1）假设要证的命题_______，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和___________（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明___________，我们把它称为反证法.（2）证明步骤：反设→推理→归谬→肯定原结论.不成立命题的条件原命题成立【即时应用】(1)思考:若a,b,c∈(0,1),则(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a能否同时大于?提示:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于,即有(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞又14141414141.64221aa11bb11aa(),1bb(),242421cc11cc().24∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤与假设矛盾.故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于1,641.4(2)否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为_________________.【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反设为a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.答案:a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数4.放缩法（1）证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____或_____，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.（2）理论依据a＞b,b＞c⇒a____c.放大缩小＞【即时应用】(1)lg9·lg11与1的大小关系是_________;(2)设x＞0,y＞0，则A与B的大小关系是__________.xyxyA,B1xy1x1y，【解析】(1)∵lg9＞0,lg11＞0,∴∴lg9·lg11＜1.(2)∵x＞0，y＞0,∴∴A＜B.答案:(1)lg9·lg11＜1(2)A＜B222lg9lg11lg99lg100lg9lg11)())1.222g＜(＜(xyxyAB,1xy1xy1x1y＜5.数学归纳法当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当______时命题成立；②假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立，证明_______时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.n=n0n=k+1【即时应用】（1）思考:数学归纳法中的n0一定是1吗？为什么?提示:n0不一定是1,一般是指适合命题的第一个正整数，比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°，这里面的n应不小于3，即n≥3(n∈N+)，第一个值n0=3.(2)某个命题与正整数n有关，如果当n=k时该命题成立.那么可推导出当n=k+1时也成立.现已知n=12时，该命题不成立.那么可推得n=______时，该命题不成立.【解析】∵n=12时，命题不成立.∴n=11时命题不成立.同理n=10、9、8、…、2、1时命题均不成立.答案：1、2、3、…、11用比较法证明不等式【方法点睛】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)利用作商比较法时，要注意分母的符号.【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法.【例1】求证：(1)当x∈R时，1+2x4≥2x3+x2.(2)当a，b∈(0，+∞)时，aabb≥【解题指南】第（1）小题的不等式为一元型的整式不等式，因此可考虑利用作差比较法证明；第（2）小题是幂指数型的不等式，可考虑采用作商比较法证明.ab2ab.【规范解答】(1)方法一：(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1)=(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+)2+]≥0，∴1+2x4≥2x3+x2.1212方法二：(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0∴1+2x4≥2x3+x2.(2)当a=b时，=1.当a＞b＞0时，＞1，＞0，则＞1.当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，则＞1.综上可知，当a、b∈(0，+∞)时，aabb≥成立.abbaabab222ab2abaabbab（），ab2ab（）abab2ab2ab（）abab2ab2ab（）ab2ab【反思·感悟】1.利用作差比较法时,变形的目的在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.若遇到结果符号不能确定的情况,这时要对差式进行分类讨论.2.在作商比较中＞1⇒a＞b是不正确的,这与a,b的符号有关,比如:若b＞0,由＞1,可得a＞b,但若b＜0,则由＞1得出的反而是a＜b.也就是说,在利用作商比较法时,要对a、b的符号作出判断.ababab用综合法或分析法证明不等式【方法点睛】1.综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以拓宽解题思路，开阔知识视野.2.分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【例2】（1）已知a,b,c＞0且互不相等,abc=1.试证明:（2）已知a+b+c=1,求证：【解题指南】(1)由于a,b,c＞0,abc=1,故故本题可考虑利用基本不等式解决.(2)不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a、b、c和的形式,因此将已知式两边平方,可得出a、b、c两两积及a2、b2、c2和的式子，然后再利用平均不等式将a2+b2+c2转化为a、b、c的两两积之和，得所证不等式.111abc.abc＜1abbcca.311122cabab，【规范解答】方法一：∵a,b,c＞0，且互不相等，abc=1.即111111111111bcacababc,bcacab222abc＜111abc.abc＜方法二：∴以上三式相加，得又∵a,b,c互不相等,∴11122c;abab11122a;bcbc11122b.caac111abc.abc111abc.abc＞方法三:∵a,b,c是互不相等的正数，且abc=1,222111bccacaababbcbccaababcabcabc222abcabc.111abc.abc＞＜(2)∵a+b+c=1,∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.又∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴将以上三个不等式相加，得2（a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca),∴ab+bc+ca≤1.3【反思·感悟】本题条件中abc=1是解题的关键.可以先利用“1”的代换，构造利用基本不等式的条件，然后解决问题，也可以先利用基本不等式，然后通过“1”的代换来建立与之间的大小关系的.因此在综合法中，每一个题设条件所反馈出来的“信息”，都是至关重要的，也都有可能成为解题的突破口.111abcabc用反证法证明不等式【方法点睛】1.适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立至多有n-1个存在某个x成立至少有n个p或q﹁p且﹁q至多有n个至少有n+1个p且q﹁p或﹁q【例3】（1）若a3+b3=2，求证:a+b≤2.（2）设二次函数f(x)=x2+px+q，求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于【解题指南】(1)直接证明a+b≤2比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.(2)当要证明几个代数式中至少