2013届高考数学一轮复习课件第5单元-数列第31讲__数列的综合应用(理科人教A版)

第31讲│数列的综合应用第31讲数列的综合应用2013届高考数学一轮复习课件第5单元-数列(理科人教A版)考纲要求第31讲│考纲要求1．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题，认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何等知识解决一些数列问题．2．能依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决．知识梳理第31讲│知识梳理1．数列的综合应用(1)等差数列和等比数列的综合：等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，建立关于两个基本量：首项a1和公差d(或公比q)的方程组，以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．第31讲│知识梳理(2)数列和函数：数列是特殊的函数，等差数列的通项公式和前n项公式是关于n的一次和二次函数，等比数列的通项公式和前n项公式在公比不等于零的情况下是公比q的指数函数模型，可以根据函数的观点解决数列问题．(3)数列和不等式：以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题，体现了在知识交汇点上命题的特点，通过数列的求通项以及求和，然后解决一个不等式问题，这类不等式是关于正整数的不等式，可以通过比较法、基本不等式法、导数方法和数学归纳法解决．第31讲│知识梳理2．数列的实际应用(1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，分清哪些是变量，哪些是常量，理顺量与量之间的相互联系；②将实际问题抽象为数学问题，建立数列模型，建模时应明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型；③根据等差数列和等比数列的知识，求出该问题的数学解；④将数学问题还原为实际问题，根据求解结果对实际问题作出结论．解决数列应用问题的基本思路：第31讲│知识梳理第31讲│知识梳理(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．问题思考第31讲│问题思考►问题1等差数列与等比数列综合问题(1)在曲线y＝lgx上取点，若横坐标依次成等比数列{xn}，则对应的纵坐标依次成等差数列{yn}；()(2)一个细胞1次分裂为2个，则经过5次分裂后的细胞总数为63.()第31讲│问题思考[解析](1)设等比数列的公比为q，则yn－yn－1＝lgxnxn－1＝lgq(常数)，所以{yn}是等差数列．(2)设经过n次分裂后的细胞总数为an＋1，则数列{an}是公比为2的等比数列，经过5次分裂后的细胞总数为a6＝25＝32.[答案](1)对(2)错第31讲│问题思考►问题2增长率问题(1)某厂生产总值月平均增长率为q，则年平均增长率为12q；()(2)某集团公司去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为10(1.15－1)a.()第31讲│问题思考[解析](1)设原来生产总值为1，年平均增长率为x，则1＋x＝(1＋q)12，x＝(1＋q)12－1.(2)每年的总产值构成以a(1＋10%)＝1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，∴S5＝1.1a1－1.151－1.1＝11(1.15－1)a.[答案](1)错(2)错第31讲│问题思考►问题3商品价格与利润问题(1)某商品降价10%后欲恢复原价，则应提价10%；()(2)某商品月末的进货价比月初的进货价下降了8%，而销售价不变；这样，利润率月末比月初高出10%，则月初的利润率是18%.()第31讲│问题思考[解析](1)设原价为1，提价的百分率为x，则(1－10%)(1＋x)＝1，x＝19≈11.11%.(2)设月初的进货价为1，月初利润率为x，则1＋x＝(1－8%)(1＋x＋10%)，解得x＝0.15，即月初的利润率是15%.[答案](1)错(2)错第31讲│问题思考►问题4单利与复利问题(1)我国银行的存款都是单利计息，属于等差模型；()(2)采用单利计息与复利计息的利息都一样．()第31讲│问题思考[解析](1)我国银行的存款都是单利计息，单利计算公式是，设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．(2)复利计算公式是，设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型，两者计算的利息是不同的．[答案](1)对(2)错第31讲│问题思考►问题5存贷款利息问题(1)存款A元，年利率为r，则n年本利合计为A(1＋nr)；()(2)贷款A元，每年偿还a元，n年还清，年利率为r，则n年本利合计a(1＋r)n－1＋a(1＋r)n－2＋a(1＋r)n－3＋…＋a(1＋r)＋a＝a[1＋rn－1]r.()第31讲│问题思考[解析](1)存款按单利计算，属于等差模型．(2)属于等比模型．[答案](1)对(2)对要点探究►探究点1等差、等比数列的综合问题第31讲│要点探究例1[2011·浙江卷]已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为Sn，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)记An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn，Bn＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较An与Bn的大小．第31讲│要点探究[思路]第(1)小题可利用等比中项得出首项a1与公差d关系式，求得公差d，进而得出通项公式及Sn；第(2)小题可由An的表达式，判定可用裂项相消求和，由通项公式判定Bn为等比数列的和，应用等比数列前n项和公式求和后，再比较大小．第31讲│要点探究[解答](1)设等差数列{an}的公差为d，由1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以an＝na，Sn＝ann＋12.第31讲│要点探究(2)因为1Sn＝2a1n－1n＋1，所以An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＝2a1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以Bn＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－12n1－122a1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＞n＋1，即1－1n＋1＜1－12n，所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn.第31讲│要点探究[点评]数列问题中的重点是等差数列和等比数列，高考中数列的解答题一般都是等差数列和等比数列的综合性试题，解答这类试题的关键是综合运用等差数列、等比数列的通项公式和前n项公式，根据已知条件列出正确的方程或者方程组，求出数列的基本量；另外，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的．第31讲│要点探究变式题[2011·江西卷](1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，求a的值；(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．第31讲│要点探究[解答](1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，即aq2－4aq＋3a－1＝0.由a0得Δ＝4a2＋4a0，故方程有两个不同的实根，再由{an}唯一，知方程必有一根为0，将q＝0代入方程得a＝13.第31讲│要点探究(2)假设存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列，设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，则b2－a2＝b1q2－a1q1，b3－a3＝b1q22－a1q21，b4－a4＝b1q32－a1q31，由b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成等差数列得2b1q2－a1q1＝b1－a1＋b1q22－a1q21，2b1q22－a1q21＝b1q2－a1q1＋b1q32－a1q31，第31讲│要点探究即b1q2－12－a1q1－12＝0，①b1q2q2－12－a1q1q1－12＝0，②①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0.由a1≠0得q1＝q2或q1＝1，(i)当q1＝q2时，由①②得b1＝a1或q1＝q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾；(ii)当q1＝1时，由①②得b1＝0或q2＝1，这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列．第31讲│要点探究例2[2011·湖南卷]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．►探究点2数列在实际问题中的应用第31讲│要点探究[思路](1)根据等差数列和等比数列的定义，分段写出an的表达式；(2)分1≤n≤6和n≥7求数列的前n项和，再根据题意列不等式求解．第31讲│要点探究[解答](1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.第31讲│要点探究(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，An＝780－210×34n－6n，第31讲│要点探究因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．又A8＝780－210×3428＝82476480，A9＝780－210×3439＝76799680，所以须在第9年初对M更新．第31讲│要点探究[点评]解决数列应用问题的关键在于如何将实际问题抽象出数列模型，这就需要反复读题，列出相关信息，转化为相应的数列问题；再把经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算等，都可以利用数列模型来解决．因此要学会在实际问题中抽象出数列模型，并能用它解决问题．第31讲│要点探究变式题为进一步保障和改善民生，国家“十二五”规划纲要提出，“十二五”期间将提高住房保障水平，使城镇保障性住房覆盖率达到20%左右．某城市2010年底有商品房a万套，保障性住房b万套ba4.预计2011年新增商品房r万套，以后每年商品房新增量是上一年新增量的2倍．为使2015年底保障性住房覆盖率达到20%，该城市保障性住房平均每年应建设多少万套？保障性住房覆盖率＝保障性住房套数保障性住房套数＋商品房套数，