2013届高考数学一轮复习课件：第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 人教A版湖北文科

第五模块平面向量必修4：第二章平面向量第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示名师指导·练基础名师讲解·练思维名师纠错·补漏洞名师技法·练智力名师作业·练全能名师指导·练基础1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线回归课本有且只有λ1e1＋λ2e2不共线的向量e1，e2(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．互相垂直(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1，e2作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数a1、a2，使a＝a1e1＋a2e2.把有序数对______叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标．(a1，a2)(a1，a2)a1a2②设OA→＝a1e1＋a2e2，则就是终点A的坐标，即若OA→＝(a1，a2)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)．2．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量OA→的坐标(a1，a2)(a1，a2)向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)_______________________________________(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝⇔.终点始点λbx1y2－x2y1＝0思考感悟若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能不能写成x1x2＝y1y2？提示不能．因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.1.下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34考点陪练解析根据基底的定义知，非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底．A中显然e1∥e2；C中e2＝2e1，所以e1∥e2；D中e1＝4e2，所以e1∥e2.答案B2．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于()A．(－5,14)B．(5,14)C．(7,4)D．(5,9)解析3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－6,9)＋(1,5)＝(－5,14)．答案A3．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11解析a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－3.答案C4．已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(m＋1，m－2)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()A．m≠－2B．m≠12C．m≠1D．m≠2解析由题意AC→＝(m，m＋1)，BC→＝(m－1，m－1)，因为A，B，C能构成三角形，所以AC→≠λBC→，即有m(m－1)≠(m－1)(m＋1)，得到m≠1，故选C.答案C5．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.解析∵a＋b＝(－1，3)，∴|a＋b|＝1＋3＝2.答案2名师讲解·练思维类型一平面向量基本定理的应用解题准备已知e1，e2是平面的一组基底，如果向量a，e1，e2共面，那么有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.反之，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．这是平面向量基本定理的一个主要考查点，也是高考本部分知识考查的重点内容．【典例1】如图，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以{a，b}为基底表示OM→.[解]设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b，因为A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.而CM→＝OM→－OC→＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b，因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37.所以OM→＝17a＋37b.[反思感悟](1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量，然后利用共线向量的条件列出方程组，通过待定系数法从而确定参数的值．(2)由平面向量基本定理知：平面内的任一向量都可用两个不共线的向量唯一表示，根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题.类型二平面向量的坐标运算解题准备向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.【典例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M，N及MN→的坐标．[解]∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．∴CM→＝3CA→＝(3,24)，CN→＝2CB→＝(12,6)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)，∴x＋3＝3，y＋4＝24，∴x＝0，y＝20，∴M(0,20)．同理可求N(9,2)，因此MN→＝(9，－18)．∴所求M(0,20)，N(9,2)，MN→＝(9，－18)．[反思感悟]由A，B，C三点坐标易求得CA→，CB→坐标，再根据向量坐标的定义就可以求出M，N的坐标．向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个．在求解时，应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解．向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须灵活应用.类型三平面向量共线的坐标表示解题准备两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.【典例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求k；(4)若(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.[分析](1)直接用向量加减法的坐标运算公式．(2)借助于向量相等的条件，建立关于m，n的方程组．(3)利用向量共线的充要条件，建立关于实数k的充要条件．(4)利用(d－c)∥(a＋b)及|d－c|＝1建立关于x，y的方程组．[解](1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－1613.(4)设d＝(x，y)，∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．又(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，∴4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝1，解得x＝4＋55，y＝1＋255，或x＝4－55，y＝1－255.∴d＝20＋55，5＋255，或d＝20－55，5－255.[反思感悟]向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，可以使向量的运算完全化为代数运算．这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起．因此，很多几何问题，特别是共线、共点等较难问题的证明，通过建立坐标系，设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决．如：要证平行，只需相关向量共线，要证垂直，只需相关向量数量积等于0.名师纠错·补漏洞错源一遗漏零向量【典例1】若a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值．[错解]因为b＝(m，－m)＝m(1，－1)，令c＝(1，－1)，b∥c，又a∥b，所以a∥c，即3×(－1)－1×(2－m)＝0，解得m＝5.[剖析]零向量与任一向量平行，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．[正解]由a∥b，得－3m－m(2－m)＝0，即m2－5m＝0，解得m＝5，或m＝0，所以m的值为0或5.[评析]零向量与任一向量都是平行(共线)向量，这是在解题中常常容易被忽视的.错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误【典例2】已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？[剖析]本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解．[正解]由题设知，CD→＝d－c＝2b－3a，CE→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE→＝kCD→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.①若a，b共线，则t可为任意实数；②若a，b不共线，则有t－3＋3k＝0，t－2k＝0，解之得t＝65.综上，a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝65.[评析]平面向量基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，特别地，当a＝0时，λ1＝λ2＝0，本题在a，b不共线时，就是根据这个定理得出的方程组．在平面向量的知识体系里，平面向量基本定理是基石，共线向量定理是重要工具，在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用，在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线.名师技法·练智力技法一基向量法【典例1】在如图中，对于平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线．[解题切入点]欲证M，N，C三点共线，只需证向量MN→∥MC→，也即只需选择一组基底来表示这两个向量，然后证存在实数λ，使得MN→＝λMC→成立．[证明]令AB→＝e1，AD→＝e2，有BD→＝BA→＋AD→＝－e1＋e2，BN→＝13BD→＝－13e1＋13e2，MB→＝12e1，BC→＝AD→＝e2.∴MC→＝MB→＋BC→＝12e1＋e2，MN→＝MB→＋BN→＝12e1－13e1＋13e2＝16e1＋13e2＝1312e1＋e2.∴MN→＝13MC→.可得M，N，C三点共线．[方法与技巧]本题的关键是在几何图形中选一对不共线向量，进一步表示出我们需要的向量MN→，MC→，再证明向量共线，从而得点共线，这是证明三点共线常用的方法．本方法常称作基向量法.技法二方程的思想【典例2】已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，以AB→，AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.[解]∵AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，∴AD→＋BD→＋CD→＝(－12,8)．由平面向量基本定理，一定存在实数x，y，使得AD→＋