2013届高考数学第一轮基础复习 等差数列课件

第二节等差数列重点难点重点：等差数列的定义、通项、前n项的和与性质．难点：等差数列性质的应用．知识归纳一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第___项起，每一项与它的___一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．2．等差中项：如果三数a、A、b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，即A＝______.二前a＋b2二、等差数列的通项公式等差数列{an}的通项an＝a1＋______d＝am＋______d.推导方法：累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.三、等差数列的前n项和公式等差数列{an}的前n项和Sn＝_______＝______________.推导方法：倒序相加法．(n－1)(n－m)na1＋an2na1＋nn－12d四、用函数观点认识等差数列1．an＝nd＋(a1－d)(一次函数)．2．Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(常数项为零的二次函数)．五、等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列，证明一个数列为等差数列，一般用定义法；(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(5){an}是等差数列⇔{Snn}是等差数列．六、等差数列的性质1．下标和与项的和的关系在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝____，(p，q，m，n∈N*)．2．任意两项的关系在等差数列{an}中，m、n∈N*，则am－an＝(m－n)d或am＝an＋(m－n)d或am－anm－n＝d.2am3．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.等差数列的依次n项和也构成一个等差数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……为等差数列，公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．4．设等差数列{an}的公差为d，那么(1)d0⇔{an}是递增数列，Sn有最小值；d0⇔{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．(2)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为λd.(3)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列．(5)若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则ambm＝________.S2m－1S′2m－1误区警示1．用an＝Sn－Sn－1求an得到an＝pn＋q时，只有检验了a1是否满足an，才能确定其是否为等差数列，前n项和是不含常数项．．．．．的n的二次函数时，{an}才是等差数列．2．在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形．3．如果p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则ap＋aq＝2ar，而不是ap＋aq＝a2r.一、函数思想等差数列的通项是n的一次函数，前n项和是n的二次函数，故有关等差数列的前n项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．[例1]已知数列{an}为等差数列，且a5＝11，a8＝5，则an＝__________.解析：等差数列通项是n的一次函数，由函数观点可将问题转化为已知一次函数图象上两点(5,11)和(8,5)，求函数的解析式f(n)＝an.∴an－5＝11－55－8(n－8)，即an＝－2n＋21.答案：－2n＋21二、等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.[例2]有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数．解析：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为a＋d2a.∴a－d＋a＋d2a＝16，a＋a＋d＝12.解之得a＝4，d＝4，或a＝9，d＝－6.所以这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[例1](2010·鞍山一中)在等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，且a1＋a2＋a5＝13，则数列{an}的公差为()A．2B．0C．2或0D.12或0等差数列的通项解析：由条件知，a22＝a1a5，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，∴d＝0或d＝2a1.若d＝0，则an＝133，满足题意；若d＝2a1，则由a1＋a2＋a5＝13得，a1＝1，d＝2，也满足题设要求，故选C.答案：C(文)(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意得a1＋d＝2a1＋2d＝4，由此解得a1＝0d＝2.a10＝a1＋9d＝18，选D.答案：D(理)(2011·烟台模拟)已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{11＋an}是等差数列，则a11等于()A．0B.16C.13D.12解析：令bn＝11＋an，∵b3＝11＋a3＝13，b5＝11＋a5＝12，{bn}是等差数列，设公差为d，则b5－b3＝2d＝16，∴d＝112，∴b11＝11＋a11＝b5＋6d＝12＋6×112＝1，∴a11＝0.答案：A[例2](文)等差数列{an}的通项公式是an＝1－2n，其前n项和为Sn，则数列Snn的前11项和为()A．－45B．－50C．－55D．－66等差数列的前n项和解析：∵Sn＝na1＋an2，an＝1－2n，∴Snn＝a1＋an2＝－n，∴前11项的和为－66.答案：D(理)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的前n项和，求Tn.解析：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.又S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝7，15a1＋105d＝75，即a1＋3d＝1，a1＋7d＝5.解得a1＝－2，d＝1.∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)．∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列{Snn}是等差数列，其首项为－2，公差为12.∴Tn＝14n2－94n.(文)(2011·海淀期末)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S5S6B．S5S6C．S6＝0D．S5＝S6解析：∵d0，|a3|＝|a9|，∴a30，a90，且a3＋a9＝0，∴a6＝a3＋a92＝0，∴S5＝S6.答案：D(理)(2011·郑州一测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4S8＝13，则S8S16＝()A.18B.13C.19D.310解析：设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵数列{an}为等差数列，∴A1、A2、A3、A4也成等差数列，S4S8＝A1A1＋A2＝13，不妨设A1＝1，则A2＝2，A3＝3，A4＝4，S8S16＝A1＋A2A1＋A2＋A3＋A4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，故选D.答案：D[例3]等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260等差数列性质的应用解析：解法1：将Sm＝30，S2m＝100代入Sn＝na1＋nn－12d得ma1＋mm－12d＝30，2ma1＋2m2m－12d＝100.解之得d＝40m2，a1＝10m＋20m2.∴S3m＝3ma1＋3m3m－12d＝210.解法2：根据等差数列性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，从而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)．∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法3：∵Sn＝na1＋nn－12d，∴Snn＝a1＋n－12d，∴点(n，Snn)是直线y＝x－1d2＋a1上的一串点，由三点(m，Smm)、(2m，S2m2m)、(3m，S3m3m)共线易知S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法4：令m＝1得S1＝30，S2＝100，从而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，∴a3＝70＋(70－30)＝110，∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.答案：C点评：解法1利用方程思想；解法2设而不求整体处理，利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质；解法三是数形结合思想的运用；解法四利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法．(文)(2011·山东济宁一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13的值是()A．130B．65C．70D．75解析：由a2＋a7＋a12＝30得3a7＝30，即a7＝10.则S13＝13a1＋a132＝13a7＝130.答案：A(理)(2010·山东济宁一模)在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝π4，则tan(a4＋a6)等于()A.3B．－1C．1D.33解析：由a1＋a5＋a9＝π4，得a5＝π12，∴tan(a4＋a6)＝tan2a5＝tanπ6＝33.答案：D[例4]等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？分析：a10，S9＝S12，∴d0，故Sn存在最小值可借助Sn是n的二次函数求解，也可由an≤0an＋1≥0求解．有关等差数列的最值问题解析：由条件S9＝S12可得9a1＋9×82d＝12a1＋12×112d，即d＝－110a1.由a10知d0，即数列{an}为递增数列．考虑常用方法，可找转折项或利用二次函数求解．方法1：由an＝a1＋n－1d≤0an＋1＝a1＋nd≥0得1－110n－1≥01－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法2：S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝3a11＝0，∴a11＝0.又∵a10，∴公差d0，从而前10项或前11项和最小．方法3：∵S9＝S12，∴Sn的图象所在抛物线的对称轴为x＝9＋122＝10.5，又n∈N*，a10，∴{an}的前10项或前11项和最小．方法4：由Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n，结合d＝－110a1得Sn＝－120a1·n2＋2120a1·n＝－a120n－2122＋44180a1(a10)，由二次函数性质可知n＝212＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．点评：在方法2和方法3中应用了等差数列的性质显得尤为简捷．(文)若数列{an}(n∈N*)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an＋1)在直线x－y－2＝0上，那么下列说法正确的是()A．当且仅当n＝1时，Sn最小B．当且仅当n＝8时，Sn最大C．当且仅当n＝7或8时，Sn最大D．Sn有最小值，无最大值解析：由题意得：an－an＋1－2＝0，则an＋1－an＝－2，所以数列{an}是以a1＝14，d＝－2的等差数列，则Sn＝14n＋nn－12×(－2)＝－n2＋15n，所以当且仅当n＝7或8时，Sn最大．答案：C(理)(2011·山东实验中学期末)已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的最大值n为()A．11B．19C．20D．21解析：∵Sn有最大值，∴