2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第3章第19讲 等比数列

等比数列的基本量运算【例1】已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.131232131133131113···82514,41411242212.nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaqaqaa－－因为＝，所以＝＝，所以＝，所以由得或，所以＝，＝或＝，＝，所以＝方【法或＝】：解析221312123133123111131784112222.2nnnnaaqaaqaaaaqqaaaaqaaqqaa－－因为＝，＝，所以，解得或，所以＝或＝方法：研究等差数列或等比数列，通常向首项a1，公差d(或公比q)转化．在a1，an，d(或q)，Sn，n五个基本量中，能“知三求二”．【变式练习1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝3.求：(1)等比数列{an}的公比q；(2)a17＋a18＋a19＋a20的值．4148184417181920441616411111131132.11··12126.11aqSqaqSqqqaaaaqaqaqqqq由，两式相除得＋＝，即＝＋＋＋＝＝＝【＝解析】等比数列的判定与证明【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)．若an＋Sn＝n，(1)设cn＝an－1，求证：数列{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．11111111111(2)21(2)2(1)1(2)1(2)211211102nnnnnnnnnnnaSnaSnnaanaanccnaSacac－－－－－证明：由＋＝，得＋＝－，两式相减得－＝，即－＝－，所以＝．又由＋＝，解得＝，所以＝－＝－【解析，所以数列是】等比数列．11111111()()()222111()21()(2)21)21(.22nnnnnnnnnnnncacbaanbab－－由知＝－＝－，所以＝＋＝－，所以＝－＝．又＝＝适合上式，所以＝判断一个数列是等比数列的方法有定义法、等比中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断．证明一个数列是等比数列的方法有定义法和等比中项法，注意等比数列中不能有任意一项是0.121(1)123.23nnnnnnnanSSaaaaaS数列的前项和为，且＝－．求，；证明：数列是等比数【变式练习】列；求与11111222211111111(1).3211(1).3411(1)(1),3311133211,221112()()()22211123[()1]32nnnnnnnnnnnnnnnaSaaaaSaaSaSaaaaaaaaS＋＋＋因为＝＝－，所以＝－又＋＝＝－，所以＝证明：因为＝－，所以＝－两式相减得＝－，即＝－，所以数列是首项为－公比为－的等比数列．由【解析】得＝＝－，＝－－．　　等比数列的公式及性质的综合应用514271472114156.132nnnaaaaaaSSSSSS已知递增的正项等比数列中，－＝，－＝试求，；【求证：，－，－成等例】比数列；34142nnnnnnnnnnbbabfncccanTT若数列满足：＝，在直角坐标系中，画出＝的图象；若数列满足：＝，数列的前项和为，试比较与的大小．42511421224111111.(1)15(1)6152125202.22.2(1)1511221.11nnnnnnnnaqaaaqaaaqqqqqqqqaqqaqaaqaaqSq－－设递增的正项等比数列的公比为因为－＝－＝，－＝－＝，两式相除，得＝，即－＋＝，解得＝或＝因为数列是递增的正项数列，所以＝将＝代入－＝，得＝，所以＝＝，＝＝【】－解析(2)证明：因为S7＝27－1，S14＝214－1，S21＝221－1，所以S14－S7＝27(27－1)，S21－S14＝214(27－1)，所以S7·(S21－S14)＝214·(27－1)2＝(S14－S7)2，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比数列．(3)因为f(n)＝bn＝4an＝2n＋1(n∈N*)，所以bn＝f(n)的图象是函数f(x)＝2x＋1的图象上的一列孤立的点(图略)．1122111,21111+22211122(1)2.21241nnnnnnnncaTccc因为＝＝所以＝＋＋＋＝＝＝－本题主要考查三个方面：一是由两个给出的等式，解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求得通项公式及前n项和公式，要求记牢公式和细心运算；二是用等比中项的方法证明三个数成等比数列．一般地，三个非零实数a、b、c满足b2＝ac，则a、b、c成等比数列；三是考查等比数列的图象．此题不难，但较全面地考查了等比数列的有关知识，对复习基础知识是很有帮助的．*11231121.1213.4nnnnnnnnnnnaaaanbaaabacnbcnSN＋在数列中，＝，＝＋，，＝＋计算，的值；探究数列是否为等比数列？若是，求出的通项公式；若不是，说明理由；设＝，求数列的前项【习3】和变式练11222331111-1-2*1120.112.21112.21200122112()()1()2212nnnnnnnnnnnnaaaaaaabaaabbbabbbanN＋＋由＝，＝＋，得＝由＝＋，得＝－由＝＋及＝＋，得＝因为＝＋＝，从而，所以数列是以为首项，公比为的等比【解析】数列．所以＝，故＝．123232312311111()4211112()3()()222211111()2()(1)()().2222211111()()()()2222211[1]12222·()121223212nnnnnnnnnnnnnnnnncnbnSccccnSnnSnnnnS＋＋＋因为＝＝，所以＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋，＝＋＋＋－＋两式相减，得＝＋＋＋＋－＝－＝－，所以＝－.等差数列与等比数列的综合应用例4已知等比数列an的各项均不为1的正数，数列bn满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，求数列bn的前n项和Sn取得最大值时的项数n.【解析】设等比数列an的公比为q，则an＋1an＝q，因为bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝lgq为常数，所以数列bn为等差数列，因为b3＝18，b6＝12，所以公差d＝－2，b1＝22，所以数列bn的前n项和Sn＝－n2＋23n＝－(n－232)2＋5294，可知当n＝11或12时Sn取得最大值．此题主要是抓住等差数列与等比数列之间的转换求解，等差数列的项作为幂指数构成的新数列为等比数列；等比数列的各项作为对数的真数构成的数列为等差数列，可知数列bn为等差数列，从而利用基本量运算求得b1，d的值，求得数列bn的前n项和．【变式练习4】已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn＜128.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)．由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝1.27-771111·()128().221642164[1()](1)211121128[1()]1228.2nnnnnnnnaaqaqaqSq－故＝＝证明：因为＝，＝，所以＝＝＝－1.在等比数列{an}中，a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝__________1352121341263781.(1)40(1)60323·(1)40()135.2naqaaaqaaaqqqaaaqq【设等比数列的公比为＋＝＋＝，＋＝＋＝，两式相除，得＝，所以＋＝解＝＝】＋析2.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝____________.－21211111211122.12(1)(2)0112111111202(1)2.nnnnnnSSSqnananaaqqnaqaqaqqqqqqqq＋＋由题意知，＝＋当＝时，得＝＋＋＋，解得＝，与条件等比数列矛盾，故＝舍去；当时，利用等比数列的前项求和公式得＝＋，化简得＋－＝，解得＝－舍去，所【以】＝－解析1234231234153.891111·8naaaaaaaaaaa等比数列中，＋＋＋＝，＝－，则＝_______14231234142312342311111558.938aaaaaaaaaaaaaaaaaa＝＋＝＝＝【－解析】53－4.若数列{an}的前n项和可表示为Sn＝2n＋a，则{an}是否可能成为等比数列？若可能，求出a的值；若不可能，说明理由．11111101*1122.(2)222(2)222122()2.21121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnanSaaSaaSSnaaananaaaaanaaaaaN－－－－因为的前项和＝＋，故＝＝＋同时，＝－，即＝＋－－＝．要使适合时数列的通项公式，则必有＋＝，得＝－，此时＝，且＝＝故当＝－时，数列为等比数列，【解析】其首项为，公比为；当－时，不是等比数列．5.已知数列an与bn满足：bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，bn＝3＋－1n2，n∈N*，且a1＝2，a2＝4.(1)求a3，a4，a5的值；(2)设cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈N*，证明：cn是等比数列．【解析】(1)由bn＝3＋－1n2，n∈N*，可得bn＝1n为奇数2n为偶数又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.(2)证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0，③②－③，得a2n＝a2n＋3.④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)，即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此cn＋1cn＝－1，所以{cn}是等比数列．本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想，考题一般从三个方面进行考查：一是应用等比数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公比进而求得等比数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等比数列问题间接地求得等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等比数列．1．等比数列常用的性质：(1)等比数列{an}中，对任意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap2.(2)对于等比数列{an}中的任意两项an、am，都有关系式an＝amqn－m，可求得公比q.但要注意n－m为偶数时，q有互为相反数的两个值．(3)若{an}和{bn}是项数相同的两个等比数列，则{an·bn}也是等比数列．1222*