电动力学课件

2.1逻辑代数基础2.1.1逻辑变量与逻辑函数2.1.2基本逻辑与基本逻辑运算2.1.3真值表与逻辑函数2.1.4逻辑代数的基本定律2.1.5三个规则2.1.6常用公式2.1.7逻辑函数的标准形式2.1逻辑代数的三种基本运算2.1.1逻辑变量与逻辑函数逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、C、…表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。但必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种状态。逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系，因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑变量A、B、C、…的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、B、C、…的逻辑函数，并记为),,,(CBAfF表2-1-1与逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮2.1.2基本逻辑与基本逻辑运算一、基本逻辑S1S2图2-1-1与逻辑举例灯电源１．与、或、非三种基本逻辑关系(1)与逻辑关系只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。表2-1-2或逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合亮合合断亮合亮(2)或逻辑关系只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。S1灯电源图2-1-2或逻辑举例S2表2-1-3非逻辑举例状态表开关S灯断亮合灭灯图2-1-3非逻辑举例电源(3)非逻辑关系事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。表2-1-4与逻辑真值表表2-1-5或逻辑真值表表2-1-6非逻辑真值表ABF001010110001ABF001010110111AF0110２．基本逻辑关系在逻辑代数中的描述(1)真值表描述法在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑中只有0和1两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表，称为逻辑真值表，或简称真值表。(2)数学表达式描述法与逻辑：F=A·Ｂ又称为与运算或逻辑乘。运算符。若不致混淆，可省略。或逻辑：F=A+Ｂ又称为或运算或逻辑加。非逻辑：F=A读作“A非”或“非A”。(1)(2)(3)AB+FABF≥11AFABFABFAF&ABFAF图2-1-4基本逻辑的逻辑符号与逻辑符号或逻辑符号非逻辑符号ABF(3)逻辑符号描述法(本书中采用的是国家标准符号）现行国家标准常用的符号国外常用的符号能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路。如与门、或门、非门（反相器）等。二、基本逻辑运算１．逻辑加（或运算）F=A+Ｂ运算规则：0+0=00+1=11+0=11+1=1一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A２．逻辑乘（与运算）F=A·Ｂ运算规则：0·0=00·1=01·0=01·1=1一般形式：A·1=AA·0=0A·A=A３．逻辑非（非运算）F=A运算规则：0=11=0一般形式：A=AA+A=1A·A=0４．复合逻辑运算表2-1-7两输入变量与非逻辑真值表ABF001010111110(1)(2)(3)ABFAB&ABFF(a)与非逻辑图2-1-5复合逻辑符号(1)与非逻辑F=A·B表2-1-8两输入变量或非逻辑真值表ABF001010111000(2)或非逻辑F=A+B(1)(2)(3)图2-1-5复合逻辑符号+B≥1AABABFFF(b)或非逻辑(3)与或非逻辑F=A·B+C·D(1)(2)(3)图2-1-5复合逻辑符号&≥1FBADCFBADC+FBADC(c)与或非逻辑表2-1-92-2输入变量与或非逻辑真值表ABF000000001110C0011D0101011110001110001101011000011111100011010111111111000000110101(4)同或逻辑若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。表2-1-10同或逻辑真值表ABP001010111001运算规则：00=101=010=011=1·一般形式：A0=AA1=AAA=0AA=1·······（e)同或逻辑图2-1-5复合逻辑符号ABBABAP·(5)异或逻辑BABABAP若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。运算规则：00=001=110=111=0+一般形式：A0=AA1=AAA=1AA=0+++++++B=1APBAPABP(d)异或逻辑(1)(2)(3)图2-1-5复合逻辑符号表2-1-11异或逻辑真值表ABP001010110110同或与异或逻辑的关系：·+·+AB=ABAB=AB根据运算规则和真值表可知：AB=ABAB=AB·+·+若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：AB=AB=ABAB=AB=AB·+++··若变量A和变量B相同，则A必与B相异或A与B相异；反之亦然。因此有：表2-1-12楼道灯开关状态表和真值表ABP001010111001开关A灯cdbdbcaa亮灭灭亮(a)(b)开关B2.1.3真值表与逻辑函数abcdAB～图2-1-6楼道灯开关示意图求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。第一步：消化逻辑命题并列写真值表。第二步：由真值表写逻辑函数表达式。方法一：把每个输出为1的一组输入变量组合状态以逻辑乘形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值0），再将所有的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与－或表达式，或称为“积之和”式。ABBAP方法二：把每个输出为0的一组输入变量组合状态以逻辑加形式表示（原变量表示取值0，反变量表示取值1），再将所有的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或－与表达式，或称为“和之积”式。)()(BABAP例2-1列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。有A、B、C３个输入信号，当３个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。表2-1-13例2-1真值表11111011110100011110001001000000PCBA解根据题意可得到如表2-1-13所示的真值表：“积之和”式：ABCCABCBABCAP“和之积”式：))(())((CBACBACBACBAP(1)关于变量和常量关系的公式2.1.4逻辑代数的基本定律1．逻辑代数的基本定律+A1=AA0=AAA=1++A⊙0=AA⊙1=AA⊙A=0A·1=AA·0=0A·A=0A+0=AA+1=1A+A=1(2)交换律、结合律、分配律(与普通代数相似的定律）交换律：A+B=B+AA·B=B·AA⊙B=B⊙AAB=BA++A⊙B⊙C=(A⊙B)⊙C结合律：A+B+C=(A+B)+CA·B·C=(A·B)·CABC=(AB)C++++A(BC)=ABAC分配律：A(B+C)=AB+AC+A+BC=(A+B)(A+C)A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)+(3)逻辑代数中的特殊定律反演律（摩根律：A+B=A·BAB=A+BA⊙B=ABAB=A⊙B++反演律证明CBACBACBA扩展基本公式重叠律：A+A=AA·A=AA⊙A=1AA=0+还原律：2.1.5三个规则１．代入规则任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例2-3已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。解：原式左边＝A[B+(C+D)]＝AB+A(C+D)＝AB+AC+AD原式右边＝AB+A(C+D)＝AB+AC+AD所以等式仍然成立。２．反演规则设F是一个逻辑函数表达式，如果将F中所有的与运算和或运算互换；常量0和常量1互换；原变量和反变量互换，这样得到的新函数式就是F。F称为原函数F的反函数。。，求　已知　　例FCDBAF42解由反演规则，可得DCBAFDCBACDBACDBAF若用反演律求解，则。，求　已知　　例FEDCBAF52解由反演规则，可得)(EDCBAF注意运算的先后顺序３．对偶规则设F是一个逻辑函数表达式，如果将F中所有的与运算和或运算互换；常量0和常量1互换，则可得到一个新函数式F＊。F＊称为F的对偶式。1*0*CABAFCABAFCBAFCBAF例如：　　推论：等式的对偶式也是等式，即：。　则如果**,,,,,,,GFCBAGCBAF2.1.6常用公式（吸收律）.1ABAABABABA对偶式：说明：如果两个乘积项,除了公有因子外，不同因子恰好互补，则可以合并为一个公有因子组成的乘积项。.2AABAABAA对偶式：说明：如果两个乘积项，其中一个乘积项的部分因子恰好是另一乘积项的全部，则该乘积项是多余的。A+AB=A(1+B)=A·1=A.3BABAABABABAAABAA1证明：ABBAA对偶式：说明：如果两个乘积项,其中一个乘积项的部分因子恰好是另一乘积项的补，则该乘积项中的这部分因子是多余的。CAABBCCAAB.4CAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB证明：CABACBCABA对偶式：CAABBCDECAAB推论：说明：如果两个乘积项的部分因子恰好互补，而这两个乘积项中的其余因子都是第三乘积项中的因子，则这个第三乘积项是多余的。2.1.7逻辑函数的标准形式１．最小项表达式(1)最小项设有n个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的乘积项（与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的乘积项称为n变量逻辑函数的最小项。最小项可用符号mi表示，下标i的确定方法是：对于最小项中的各变量，用1代替其中的原变量，用0代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标i就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最小项：30mBCAmCBA最小项的性质：①对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为1，其余均为0；②任意两个最小项mi和mj之积为0（i≠j）；③n个变量的所有最小项（2n个）之和为1。表2-1-15(a)3变量最小项AB00011000C0101100111110101对应最小项(mi)ABC=m0ABC=m1ABC=m2ABC=m3ABC=m4ABC=m5ABC=m6ABC=m7最小项表达式的书写形式：mCBAFmmmmCBAFCBABCACABABCF7,6,3,1,,,,1367或写成：　　　　　可以简写成：　　　对于逻辑函数(2)最小项表达式全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－或式，或标准积之和式。任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式：只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。由于任何一个函数的真值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。真值表ABCF00000101001110010111011101101001从真值表可知，当A、B、C取值分别为001、010、100、111时，F为1，因此最小项表达式由这四种组合所对应的最小项进行相或构成，即