2000-2017考研数学二历年真题

-1-2017年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x=0连续，则(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab（2）设二阶可到函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且()0fx，则(A)11()0fxdx(B)12()0fxdx(C)0110()()fxdxfxdx(D)1110()()fxdxfxdx（3）设数列nx收敛，则(A)当limsin0nnx时，lim0nnx(B)当lim()0nnnnxxx时，则lim0nnx(C)当2lim()0nnnxx,lim0n(D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx（4）微分方程248(1cos2)xyyyex的特解可设为ky(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx(C)22(cos2sin2)xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx（5）设()fx具有一阶偏导数，且在任意的(,)xy，都有(,)(,)0,fxyfxyxy则-2-(A)(0,0)(1,1)ff(B)(0,0)(1,1)ff(C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线1vvt（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t051015202530()ts(/)vms1020（7）设A为三阶矩阵，123(,,)P为可逆矩阵，使得1000010002PAP，则123(,,)A(A)12(B)232(C)23(D)122（8）已知矩阵200021001A，210020001B，100020000C，则(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似-3-(D)A与C不相似，B与C不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为（10）设函数()yyx由参数方程sintxteyt确定，则202tdydx（11）20ln(1)1xdxx=（12）设函数,fxy具有一阶连续偏导数，且,1,0,00yydfxyyedxxyedyf，则,fxy=（13）110tanyxdydxx（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则a三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求030limxtxxtedtx（16）（本题满分10分）设函数,fuv具有2阶连续性偏导数，y,xfecosx,求0dydxx,220dydxx（17）（本题满分10分）求21limln1nnkkknn（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值（19）（本题满分10分）()fx在0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx，证明（1）方程()0fx在区间(0,1)至少存在一个根-4-（2）方程2()()()0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分11分）已知平面区域22,2Dxyxyy，计算二重积分21Dxdxdy（21）（本题满分11分）设()yx是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:()Lyyx上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY，法线与x轴相交于点(,0)PX，若pPXY，求L上点的坐标(,)xy满足的方程。（22）（本题满分11分）三阶行列式123(,,)A有3个不同的特征值，且3122（1）证明()2rA（2）如果123求方程组Axb的通解（23）（本题满分11分）设132221232121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.-5-2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设1(cos1)axx，32ln(1)axx，3311ax.当0x时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）123,,aaa.（B）231,,aaa.（C）213,,aaa.（D）321,,aaa.（2）已知函数2(1),1,()ln,1,xxfxxx则()fx的一个原函数是（A）2(1),1.()(ln1),1.xxFxxxx（B）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（C）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（D）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（3）反常积分1021xedxx①，1+201xedxx②的敛散性为（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散.（C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散.（4）设函数()fx在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点.（B）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点.（C）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点.（D）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点.（5）设函数()(1,2)ifxi具有二阶连续导数，且0()0(1,2)ifxi，若两条曲线-6-()(1,2)iyfxi在点00(,)xy处具有公切线()ygx，且在该点处曲线1()yfx的曲率大于曲线2()yfx的曲率，则在0x的某个领域内，有（A）12()()()fxfxgx（B）21()()()fxfxgx（C）12()()()fxgxfx（D）21()()()fxgxfx（6）已知函数(,)xefxyxy，则（A）''0xyff（B）''0xyff（C）''xyfff（D）''xyfff（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222fxxxaxxxxxxxxx的正、负惯性指数分别为1,2，则（A）1a（B）2a（C）21a（D）1a与2a二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）曲线322arctan(1)1xyxx的斜渐近线方程为____________.-7-（10）极限2112lim(sin2sinsin)nnnnnnn____________.（11）以2xyxe和2yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.（12）已知函数()fx在(,)上连续，且20()(1)2()dxfxxftt，则当2n时，()(0)nf____________.（13）已知动点P在曲线3yx上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数0v，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.（14）设矩阵111111aaa与110011101等价，则_________.a解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）设函数1220()(0)fxtxdtx，求'()fx并求()fx的最小值.（17）（本题满分10分）已知函数(,)zzxy由方程22()ln2(1)0xyzzxy确定，求(,)zzxy的极值.（18）（本题满分10分）设D是由直线1y，yx，yx围成的有界区域，计算二重积分2222.Dxxyydxdyxy（19）（本题满分10分）已知1()xyxe，2()()xyxuxe是二阶微分方程(21)(21)'20nxyxyy的解，若(1)ue，(0)1u，求()ux，并写出该微分方程的通解。（20）（本题满分11分）设D是由曲线21(01)yxx与33cos02sinxttyt围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。-8-（21）（本题满分11分）已知()fx在3[0,]2上连续，在3(0,)2内是函数cos23xx的一个原函数(0)0f。（Ⅰ）求()fx在区间3[0,]2上的平均值；（Ⅱ）证明()fx在区间3(0,)2内存在唯一零点。（22）（本题满分11分）设矩阵11110111aAaaa，0122a，且方程组Ax无解。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求方程组TTAAxA的通解。（23）（本题满分11分）已知矩阵011230000A（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B满足2BBA。记100123(,,)B，将123,,分别表示为123,,的线性组合。2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是（）（A）21dxx（B）2lnxdxx(C)21lndxxx(D)2xxdxe(2)函数20sin()lim(1)xtttfxx在(,)内（）（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点(D)有无穷间断点-9-(3)设函数1cos,0()0,0xxfxxx(0,0)，若()fx在0x处连续，则（）（A）1(B)01(C)2(D)02(4)设函数()fx在(,)连续，其二阶导函数()fx的图形如右图所示，则曲线()yfx的拐点个数为（）（A）0(B)1(C)2(D)3(5).设函数(uv)f，满足22(,)yfxyxyx，则11uvfu与11uvfv依次是（）（A）12,0(B)0，12（C）-12,0(D)0,-12(6).设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy=（）（A）12sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr（B）1sin22142sin2(cos,sin)dfrrdr（C）13sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr