高中数学常见的知识类比

专题高中数学常见的知识类比一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．⑵类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。⑶类比推理的特点：①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．二、常见的几种类比：代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线【1】类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,b∈R,则a+b∈R若a,b∈R,则ab∈R运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)ab=ba(ab)c=a(bc)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a单位元a+0=aa·1=a【2】根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a=bac=bc;(2)a＞bac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等。(3)a＞ba2＞b2;等等【3】实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1数a的相反数－a实数a的绝对值|a|零向量0→、单位向量e→向量a→的相反向量－a→向量a→的模|a→|运算规律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(ab)c＝a(bc)③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2⑦|a·b|＝|a|·|b|运算规律：①交换律：a→＋b→＝b→＋a→②结合律：(a→＋b→)＋c→＝a→＋(b→＋c→)(a→·b→)c→≠a→(b→·c→)（乘法不满足）③分配律：a→·(b→＋c→)＝a→·b→＋a→·c→④不满足消去律：若a→·b→＝a→·c→，那么b→与c→不一定相等.⑤若a→·b→＝0，那么不一定a→＝0→或b→＝0→.⑥公式：(a→＋b→)·(a→－b→)＝a→2－b→2(a→±b→)2＝a→2±2a→·b→＋b→2⑦|a→·b→|≤|a→|·|b→|||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→|【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质【5】平面几何与立体几何的类比：【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆的周长C＝d（d为直径）球的表面积S＝d2（d为球直径）圆的面积S＝r2（r为半径）球的体积V＝43r3（r为球半径）（这一点不是很好的类比）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两条弦长相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆的面积相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心引申：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”，猜测关于球的相应命题为_______________________【7】三角形与四面体的性质类比：三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半四面体的中位面（同一顶点发出的三条棱中点确定的截面）平行于第四个面，面积等于第四个面的14三角形三边的中垂线交于一点，且这一点是三角形外接圆的圆心（外心）四面体的六条棱的中垂面（经过棱的中点且垂直于棱的平面）交于一点，且这一点是四面体外接球的球心，（或经过各个面三角形外心且垂直该面的垂线交于一点，这一点是四面体外接球的球心）平面几何立体几何角及角平分线二面角及角平分面线段的垂直平分线线段的垂直平分面三角形的三条边四面体的四个面平行四边形对角线相交一点，并且被平分平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心（内心）四面体的四个面构成的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心三角形的三条中线相交于一点（重心），这点把每条中线分成2：1.四面体的每个顶点与对面三角形的重心的连线相交于一点（重心），且被该点分成3：1①三角形的面积S＝12ah①四面体的体积V＝13Sh②三角形的面积为1()2Sabcr（r为三角形内切圆的半径，a,b,c为三角形三边长）②则四面体的体积为V=31R(S1+S2+S3+S4)（R为四面体内切球半径，S1,S2,S3,S3分别为四个面的面积【8】直角三角形与直角四面体的类比：直角三角形直角四面体（在四面体中，若有一顶点发出的三条棱两两互相垂直，则改四面体成为直角四面体）如图，Rt△CAB中，∠C＝90，如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，O为直角顶点：AB2＝OA2＋OB2（c2＝a2＋b2）S2△ABC＝S2△OAB＋S2△OBC＋S2△OCAcos2A＋cos2B＝1cos2＋cos2＋cos2＝1（、、是侧面与底面所成的角）1OH2＝1a2＋1b21OH2＝1a2＋1b2＋1c2外接圆半径R＝12a2＋b2外接球半径R＝12a2＋b2＋c2内切圆半径r＝a＋b－c2＝aba＋b＋c内切球半径r＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＋S△ABCa＋b＋c【9】等差数列与等比数列的类比：等差数列{an}（公差为d）等比数列{bn}（公比为q）通项：an＝a1＋(n－1)d通项：bn＝b1·qn－1am－an＝(m－n)dbmbn＝qm－n若a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as若b1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有bts－1＝bst－1若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，则am＋an＝ap＋ar若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，则bm·bn＝bp·br若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，am＋an＝2ap若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，bm·bn＝bp2OABCHabcOABcabhHSn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n(a1＋an)2前n项积：Tn＝b1·b2·…·bn＝(b1·bn)n若ak＝0，2k＞n＋1，k，n∈N*则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－n－1若bk＝1，2k＞n＋1，k，n∈N*则有b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b2k－n－1若cn＝a1＋a2＋…＋ann，则数列{cn}也是等差数列若dn＝nb1·b2·…·bn，则数列{dn}也是等比数列若cn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan1＋2＋3＋…＋n，则数列{cn}也是等差数列.若dn＝(b1·b22·b33·…·bnn)11＋2＋3＋…＋n，则数列{dn}也是等比数列.【10】椭圆与双曲线的类比：椭圆双曲线x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）焦半径：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0焦半径：左支上|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)右支上|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a通径：︱H1H2︱＝2b2a通径：︱H1H2︱＝2b2aP是椭圆上一点，∠F1PF2＝，则S△PF1F2＝b2tan2P是双曲线上一点，∠F1PF2＝，则S△PF1F2＝b2cot2P是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2内切，如下图：P是双曲线上一点，F是双曲线的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2内切或外切，如下图：过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程为：x0xa2＋y0yb2＝1过双曲线上一点(x0，y0)的切线方程为：x0xa2－y0yb2＝1若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则切若P0(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外，过P0作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦PF1F2PFxA1B1B2F1A2F2H2H1OyF1F2OyxA1A2B2B1H2H1点弦P1P2的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1.P1P2的直线方程是x0xa2－y0yb2＝1.椭圆的焦点△PF1F2的旁切圆圆心M的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.双曲线的焦点△PF1F2的内切圆圆心M的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，F1，F2是椭圆的的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2＝PC·PDCAF1F2BPDAB是双曲线的实轴，O是双曲线的中心，F1，F2是双曲线的的焦点，直线AC，BD是双曲线过A、B的切线，P是双曲线上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2＝PC·PD三、类比练习题：（一）选择题：1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是························································································（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A.①B.①②C.①②③D.③试题类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①②③①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等解答：解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，PF1F2PF1F2M故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相