电工与电子技术第四章 正弦交流电路的稳态分析

第四章正弦交流电路的稳态分析第一节正弦交流电的基本概念第二节正弦交流电的相量表示法第三节单一理想元件的交流电路第四节RLC串联交流电路第五节阻抗的串联与并联第六节正弦交流电路的分析方法第七节功率因数的提高第八节正弦交流电路的谐振作业第一节正弦交流电的基本概念一正弦量二正弦量的三要素一、正弦量:大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流和电动势统称为正弦量。正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。i=Iｍsin(ωt+)Ａ其波形如图timIT从表达式可以看出,当Im、T、确定后,正弦量就被唯一的确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素。正弦电流i用三角函数表示为二正弦量的三要素1.周期T、频率f和角频率ω2.最大值和有效值3.相位、初相、相位差周期T:正弦量变化一次所需要的时间称为周期。单位是秒(s）。频率f:1秒钟正弦量变化的次数称为频率。单位是赫兹（HZ)。显然f=1/T或T=1/f1.周期Ｔ、频率f和角频率ω角频率ω:单位时间里正弦量变化的角度称为角频率。单位是弧度/秒（rad/s）.ω=2π/T=2πf周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。２．最大值和有效值正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬时值中最大的称为最大值。Im、Um、Em分别表示电流、电压和电动势的最大值。表示交流电的大小常用有效值的概念。把两个等值电阻分别通一交流电流i和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流Ｉ定义为交流电流的有效值。所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。TRTIRdti022即TdtiTI021将电流的三角式带入上式中有:2mII同理:2mUU2mEE3.相位、初相、相位差AtIim)sin(相位：我们把ωt+称为相位。初相：t=0时的相位称为初相。相位差：任意两个同频率的正弦量的相位之差。用φ表示。例：VtUuum)sin(AtIiim)sin(两者的相位差为:iu0电压超前电流φ角(或电流滞后电压φ角)=0电压与电流同相位0电流超前电压φ角=±π电流与电压反相若:φiu.iωtφ0φφ0φφ=πφ=0解：ω=314(rad/s)，ω=2πff=ω/2π=50(Hz），T=1/f=0.02(s)i=30°,u=－45°φ=U－i=－75°Im=10A,Um=220√2VI=Im／√2=5√2A,U=Um／√2=220V例：已知：i=10sin(314t+30°)A,u=220√2sin(314t－45°)V,试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。ωt30°u、i10如图所示：45°u滞后i75°,i超前u75°。220√2第二节正弦交流电的相量表示一、相量图二、相量表示（复数表示）一、相量图正弦信号可用一旋转矢量来表示，令矢量长度＝Im矢量初始角＝Ψ矢量旋转速度＝ω如图：ωωtiyx该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值一般我们研究的是同频率的正弦量，用相量表示时，它们同以ω速度旋转相对位置保持不变。因此，在同一相量图中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。相量的写法为大写字母的上方加一个“.”例：用相量图来表示下列正弦量解：120°1U3U2UVtUuom)120sin(3ωVtUuom)120sin(2ωVUumωsin1120°t注意•只有正弦量才能用相量表示；•几个同频率正弦量可以画在同一相量图上；•任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。二、相量表示（复数表示）我们知道一个相量可以用复数表示，而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量可以用复数表示。１、复数表示法：ajbrA+1A=a+jb代数式A=r(cosφ+jsinφ)三角式A=rejφ指数式A=r∠φ极坐标式其中φ=arctan(b/a)22bara=rcosφb=rsinφ2、有关复数的计算加减运算用代数式,实部与实部,虚部与虚部分别相加减。乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除，幅角相加或减。3.正弦量的相量表示一个复数的幅角等于正弦量的初相角，复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量.R=a+jb是t=0固定相量的复数形式∴u≠Um·例：写出下列正弦量的相量，并求出：i=i1+i2,画出相量图。解：Atio)60sin(2201Atio)30sin(2102İ1=20∠60°Aİ2=10∠-30°Aİ=İ1+İ2=20∠60°+10∠－30°=20(cos60°+jsin60°)+10[cos(－30°)+jsin(－30°)=22.36∠33.4o(A)A)4.33tωsin(236.22oi=18.66+j12.39=10+j17.39+8.66－j5相量图为:1I2II三、基尔霍夫定律的相量形式KCL∑i=0KVL∑u=0∑İ=0∑U=0ii1i2○○i=i1+i221III21UUUU=U1+U2u＝u1＋u2陷阱挖好了，跳吧(cossin)miI来了？来了？哈哈，没掉下去！！第三节单一理想元件的交流电路一、电阻电路二、电感电路三、电容电路设一、电阻电路u1、电压与电流关系itsinUmωutsinItsinRURummωωi为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。u、i满足欧姆定律R0IUIUo0UURUIIm、Um（Ｕ、Ｉ）同样满足欧姆定律复数形式复数形式欧姆定律RUImmo0II可见：电压与电流同相位RIUIUiuuiφ＝０相量图可见:P≥0电阻是一个耗能元件。2．功率关系⑴瞬时功率p=ui=UmImsin2ωt=UI(1-cos2ωt)(2)平均功率=UI=I2R=U2/RTpdtTP01iuωtuiωtpUI二.电感电路ui1.电压与电流关系设i=Imsinωtu=Ldi/dt=ωLImcosωt=Umsin(ωt+90°)Um=ωLIm感抗U=XLIXL=ωL因此:相量表达式为:LjXIUUo90I..IjXUL..90°UU.0°II.U.I.电感中的电流滞后电压90°（电压超前电流90°）。相量图2．功率关系(1)瞬时功率在正弦交流电路中，电感功率以２ω按正弦规律变化。tUIω2sin波形如图所示P＝ui=Im·Umsinωt·cosωt显然,第一个1/4周期P0,电感吸收能量,第二个1/4周期P0,放出能量.它与电源间进行能量的互相交换.ωtuiωtpiu⑵平均功率(有功功率)电感是储能元件,不消耗电能。010TpdtTP⑶无功功率无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。QL=UI=I2XL=U2／XL单位:乏尔（var）解：XL=ωL=520ΩIL=UL/XL=0.336A电感中电流落后电压90ºQL=ULIL=69.54(var)iL=0.336√2sin(314t+20º－90º)=0.336√2sin(314t-70º)例：设电感Ｌ＝1.65H,ω=314rad/suＬ=190√2sin(ωt+20o)Ｖ求XL、iL、QL。三、电容电路uiC1、电压与电流关系tωsinUmutcosCUdtduCmωωi设：)90tsin(ImωC1XCω容抗mCmIXUIXUC电容中的电流超前电压900UU90IIIU相量图mmICUωmmIC1Uω∴相量表达式为：IjXUC2、功率关系（1）瞬时功率tωsintωcosIUmmuiptUI2sinCjX90IUIUωtuiωtp显然,第一个1/4周期p0,电容储存能量,第二个1/4周期p0,放出能量。ui（2）平均功率（有功功率）T00pdtT1P电容是储能元件，不消耗电能。（3）无功功率无功功率反映的是电容与电源间能量互相交换的规模。C2C2CXUXIUIQ单位是乏尔（Var）例：设电容C＝0.1μF,ω=6280rad/suC=10sin(ωt+30o)Ｖ,求XC、İC、QC。解：XC=1／ωC=1.59KΩIC=UC/XC=10／√21.59电容中电流超前电压90ºİC=4.45∠30º+90º=4.45∠120ºmAQC=XCIC2=31.6×10－3(var)=4.45mA例:已知XL=10Ω,R=2Ω,A2表读数2A,设个表均为理想电表,求其余各表读数.AA1A2VRL解：U=I2·XL=2×10=20VI1=U/R=20/2=10Aİ=İ1+İ2=10－j2=10.2∠－11.3°A设İ1=10∠0°A=10Aİ2=2∠－90°A=－j2A∴A1:10A、A:10.2A、U:20V第四节RLC串联交流电路一、电压与电流关系二、功率关系一.电压与电流关系iRLCRuLuCuuCLRUUUU以电流为参考正弦量，i=Imsinωt即İ=I∠0°1、相量图法相量图为：CLUURUCULUIUφ22)(CLRUUUURXXarctanUUUarctanCLRCLφ可见：φURUL-UCU电压三角形总电压有效值U=UR+UL+UCU2=UR2+（UL—UC）22CL2R)UU(UU电抗与阻抗zIXRI)XX(RI)IXIX()IR(222CL22CL2U2=UR2+UL2+UC2式中X=XL－XC称为电抗22XRz称为阻抗∴U=Iz相位关系URUUarctanRXXarctanCLCLφRc1Lanarct可见φ是由R、L、C及ω决定的。90°φ0电压超前电流电路呈感性。－90°φ0电流超前电压电路呈容性。φ=0电压与电流同相,电路呈纯阻性。2、复数形式分析法CLRUUUUIjXIjXRICL)]XX(jR[ICL)jXR(IZ为复阻抗Z=R+j(XL－XC)=z∠φφ=arctan(XL-XC)/RZIU2CL2)XX(Rz复数形式欧姆定律阻抗三角形φ角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角.RXL-XCzφR=zcosφX=zsinφ在RLC串联交流电路中，R=15Ω，L=12mH,C=5μF,电源电压求:⑴电路中的电流i和各部分电uR,uL,uC;(2)画相量图.V)t5000sin(2100u例1、解：=60Ω=5000×12×10－3XL=ωL=40Ω=1／5000×5×10－6XC=1/ωC2015)(jXXjRZCL1520201522arctano1353.25oOoZUI13.53413.53250100oRRIU13.5360ooLLIXjU13.534×60×90o8.36240ooCCIXjU13.534×40×90o13.143160A)13.53t5000sin(24oiV)13.53t5000sin(260uoRV)8.36t5000sin(2240uoLV)13.143t5000sin(2160uoC（2）相量图如图：CULURUIo13.53o13.143o8.36U例2．已知R1=1KΩ,R2=300Ω，L=0.4H,ω=103rad/s,电压表V1的读数为2V,试求其余电压表的读数。R2LuViR1V2V1解：设u1为参考正弦量V20UU11则I=U1/R1=2mAİ=2∠0°mA=(300+j400)×2×10－3=500∠53.2°×2×10－3=1∠53.2°VI)LjR(IZU222相量图：UUU21I1U2UU=2+1∠53.2°=2.7