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第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基础梳理实线平面区域不包括1.二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)二元一次不等式表示平面区域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界,则把边界画成.包括原点相同符号（2）判定方法对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,因此只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C0表示的是直线哪一侧的平面区域.当C≠0时,常取作为测试点.（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的,因而是各个不等式所表示平面区域的.公共部分交集不等式组一次由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组线性约束条件由变量x,y组成的约束条件意义名称2.线性规划的有关概念在线性约束条件下求线性目标函数的或问题线性规划问题使目标函数取得或的可行解最优解所有可行解组成的可行域满足线性约束条件的可行解关于x,y的解析式线性目标函数关于x,y的函数,如z=2x+3y等目标函数意义名称解析式一次解(x,y)集合最大值最大值最小值最小值基础达标1.（2011·宁波模拟）不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面区域是（）解：方法一：原不等式等价于两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域，画出可行域可知选C.方法二（特例筛选法）：如取适合题意的点(1,10)，可否定选项A、B、D，故选C.2102103030xyxyxyxy或2.（2010·浙江改编）不等式组表示的区域为D，点P1（4，5），P2（-2，1），则（）A.P1D且P2DB.P1D且P2∈DC.P1∈D且P2DD.P1∈D且P2∈D33023010xyxyxy解析：把P1、P2的坐标代入检验即可.选C.3.不等式组表示的平面区域的面积为.223yxyxx解析：画出满足不等式组的可行域如图所示，易求点A、B的坐标为：A（3，6），B（3，-6），所以三角形ABO的面积为：S△OAB=×12×3=18.124.（教材改编题）图中可行域对应的不等式（组）为（）C.(x+2y-1)(x-y+3)＞0D.(x+2y-1)(x-y+3)＜0A.B.21030xyxy21030xyxy解析：取测试点（0,0）可否定D；由图示知应选C.5.（教材改编题）若实数x,y满足则z=log2(5x+8y)的最大值是.1000xyxyx解析：可行域是以A(0,0),B(0,1),C(-0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x=0，y=1时，5x+8y取最大值8，所以z=log2(5x+8y)的最大值是3.经典例题题型一用二元一次不等式（组）表示平面区域分析：先画出各个不等式对应的直线（都画成实线），再通过测试点及不等式组判定点所在的区域，根据所画的平面区域解答后三问.【例1】（2010·陕西改编）设x，y满足约束条件（1）画出该不等式组所表示的平面区域；（2）求该平面区域所表示的面积；(3)分别写出x、y的取值范围.24120xyxyx解：（1）不等式x+2y-4≤0表示直线x+2y-4=0上及左下方的点的集合，x-y-1≤0表示直线x-y-1=0上及左上方的点的集合，x+2≥0表示直线x+2=0上及右方的点的集合.故原不等式组所表示的平面区域即为如图所示的三角形区域：（2）由直线x+2y-4=0与直线x-y-1=0可求得交点A（2,1），同理可求得B(-2,3)，C(-2，-3)，所以△ABC的面积为S=×6×4=12.（3）由（1）（2）可得x、y的取值范围分别为：［-2,2］,［-3,3］.12变式1-1如图，在△ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6），写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.解：由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB:x+2y-2=0,直线BC：x-y+4=0,直线CA:5x-2y+2=0.∴原点（0,0）不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为220405220xyxyxy题型二求目标函数的最值【例2】（2010·山东改编）设变量x、y满足约束条件x-y+2≥0,x-5y+10≤0，x+y-8≤0.（1）求目标函数z=3x-4y的最大值与最小值；（2）求目标函数z=x2+y2最大值；（3）求目标函数z=的最小值.1yx分析：先画出不等式组所表示的平面区域，再根据各个目标函数的几何意义求解.解：画出平面区域如图所示：可求得三条直线的交点坐标分别为A(5,3)，B(3,5)，C(0，2).（1）当直线z=3x-4y平移到点A（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线平移到点B（3，5）时，目标函数z=3x-4y取得最小值-11.（2）z=x2+y2表示区域内的点(x,y)到原点的距离的平方,则(x,y)落在点B(3,5)或点A（5，3）时z最大，zmax=9+25=34.（3）z==表示区域内的点(x,y)与定点D(1,0)连线的斜率.则(x,y)落在点C(0,2)时，z最小，zmin=-2.1yx01yx题型三线性规划的实际应用【例3】（2010·广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？分析：正确列出约束条件并画出可行域是解题的关键.解：设为该儿童分别预定x,y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z=2.5x+4y.可行域为12864,3216,6642,7,61054,3527,0,,0,,0,,0,,xyxyxyxyxyxyxxNxxNyyNyyN即作出可行域如图：所以，当x=4，y=3时，花费最少，为zmin=2.5×4+4×3=22元.答：应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐.链接高考1.（2010·陕西）铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为(百万元).知识准备：能列出线性约束条件，能正确画出平面区域，能正确理解目标函数的几何意义.60.570%B3150%Ac（百万元）b(万吨)a解析：设购买铁矿石A、B分别为x,y万吨，购买铁矿石的费用为z（百万元），则0.50.71.9,0.52,0,0,xyxyxy目标函数z=3x+6y.由0.50.71.90.52xyxy得12xy记P（1，2），画出可行域可知，当目标函数z=3x+6y过点P（1，2）时，z取到最小值15.2.（2010·福建）若x,y∈R，且则z=x+2y的最小值等于（）A.2B.3C.5D.91,230,,xxyyx知识准备：1.能正确画出可行域；2.能正确理解目标函数的几何意义解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示：作l0：x+2y=0，平移l0至A(1,1)点时，z取得最小值，∴zmin=3.