(人)版--全等三角形讲义

全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．表示，读作“全等．．．．．．．．于”．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEFABC和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEFABC。FEDABC把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____．三角形全等的条件一（SSS）三角形有六个条件：三条边和三个角如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？满足一个条件：①只有一条边对应相等；②只有一个角对应相等；ABCDEFABCDEF结论：满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等；一边一角对应相等ABCFEDABCEDF结论：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？①两边一角对应相等2题3题4题5题ABCEDFABCFEDABCEDF结论：②两角一边对应相等ABCFED结论：③三边对应相等ABCFED结论：④三个角对应相等FEDABC结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．写为“边边边”，或简记为（．．．．．．．．．．．．．S.S.S.．．．．．．）。．．ABCFEDABCFED例1.已知：如图，DE=CE，DF=CF．求证：△DEF≌△CEF．CEFD例2.已知：如图，DA=CB，DB=CA．求证：△DAB≌△CBA．DABC例3.已知：如图AB=CD,AD=BC，求证：AD∥BC。例4..已知：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证：△AMB≌△CND．例6.已知AB=CD，BF=CE，AE=CF，问AB∥CD吗？例6.已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D在BE边上.求证：∠CAE=∠DAB．课堂练习：1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是()A.120°B.125°C.127°D.104°2.如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是()A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3.如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．4.如图,AD⊥BC，垂足为D，BD=CD.求证：△ABD≌△ACD.6.已知：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O．求证：△AOB≌△DOC．7.如图，已知：AB=AC，BE=CE，E为AD上一点，求证：∠BED=∠CED。8.已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC=BD,AE=BF，CF=DE。求证：AD∥BC课后练习：1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：∠AOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？2.已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。3.如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．4.已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？10.如图，AC=BD，BC=AD，求证:△ABC≌△BAD．能力提高：1.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=2.已知：如图,E是AD上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE．3.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。(1)求证：△ABE≌△DCF;(2)CF∥BE.4.如图,AD=BC,AB=DC.求证：∠A+∠D=180°.三角形全等的条件二(SAS)定义：．．．如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．那么这两个三角形全等．．．．．．．．．．．．简．写成“边角边”或简记为（．．．．．．．．．．．．S.A.S.．．．．．．）．两边一角对应相等ABCEDF结论：例1.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△ABC≌△DEF．ABCFED例2.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．例3.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．例4.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．例5.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.3题课堂练习：1.在△ABC和△A'B'C'中,要使△ABC≌△A'B'C',需满足条件（）A.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'B.AB=A'B',BC=B'C',∠A=∠A'C.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠C'D.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠B'2.如图,在∠AOB的两边上截取AO=BO,在AO和BO上截取CO=DO,连结AD和BC交于点P,则△AOD≌△BOC理由是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS3.如图，在ABC△和DEF△中，已知ABDE，BCEF，根据（SAS）判定ABCDEF△≌△，还需的条件是（）A.ADB.BEC.CFD.以上三个均可以4.如图,AD=AE,AB=AC,BE、CD交于F,则图中相等的角共有___对,（除去∠DFE=∠BFC）()A.5B.4C.3D.26.如果两个三角形全等,则不正确的是（）A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等7.如图,已知:△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE2题4题8.下图中全等的三角形是（）A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ9.如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（）A.AB=AD，BC=DEB.BC=DE，AC=AEC.∠B=∠D，∠C=∠ED.AC=AE，AB=AD10.已知：AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．11.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.12.如图，AD＝BC,∠ADC＝∠BCD.求证：∠BAC＝∠ABD．7题8题13.如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF.14.如图,在ABC△中,40ABACBAC，°，分别以AB,AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使90BADCAE°．（1）求DBC的度数；（2）求证：BDCE．15.如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE.求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE16.如图∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。求证：AB=AC。课后练习：1.下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是（）A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EFB.AB=BC,∠B=∠E,DE=EFC.AB=EF,∠A=∠D,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF2.如图，AD,BC相交于点O，OA=OD，OB=OC．下列结论正确的是（）A.AOBDOC△≌△B.ABODOC△≌△C.ACD.BD3.如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE．下列结论不正确的有（）．A.BADCAEB.ABDACE△≌△C.AB=BCD.BD=CE4.如图所示,△ABC与△BDE都是等边三角形,ABBD,若△ABC不动,将△BDE绕B点旋转,则旋转过程中,AE与CD的大小关系为()A.AE=CDB.AECDC.AECDD.无法确定5.已知：如图,CEAB,DFAB,垂足分别为E,F,AF=BE,且AC=BD,则不正确的结论是（）A.Rt△AEC≌Rt△BFDB.∠C+∠B=90°C.∠A=∠DD.AC∥BD.6.如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）7.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.8.已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，则∠AGC的度数是______.9.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．10.如图，已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是。11.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。12.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．14.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．15.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．16.如图，在ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。17.如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，（1）试证明：DE=BF；（2）连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性．18.已知如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F点。求证：（1）AD∥BC（2）AF=BF．19.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。能力提高：1.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A.22nB.44nC.44nD.4n2.如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a，AD=h,CB=k,∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()A.aB.kC.2hkD.h3.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE。……第1个第2个第3个4.如图已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形，D在AE延长线上。求证：BD+DC=AD。5.已知：如图，BE、CF是△ABC的高，分别在