1 常微分方程的基本知识

2007年8月南京航空航天大学理学院数学系1常微分方程常微分方程基本知识线性微分方程组理论高阶线性微分方程微分方程定性方法初步2007年8月南京航空航天大学理学院数学系2常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。常微分方程2007年8月南京航空航天大学理学院数学系3微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系4例1镭的衰变规律:0,0,,.tRt设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比且已知时镭元素的量为克试确定在任意时该时镭元素的量2007年8月南京航空航天大学理学院数学系5解:(),tRt设时刻时镭元素的量为,)()(dttdRtR对时间的变化律是由于镭元素的衰变律就:衰变律可得依题目中给出镭元素的,kRdtdR0)0(RR.)(,0随时间的增加而减少是由于这里tRk:解之得kteRtR0)(即镭元素的存量是指数规律衰减的.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系6将某物体放置于空气中,在时刻0t时,测得它的温度为,1500Cu10分钟后测量得温度为试决定此物.1001Cu体的温度和时间的关系.ut例2物理冷却过程的数学模型Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系7设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义,则温度的变化速度为由Newton冷却定律,得到t).(tu.dtdu),(auukdtdu其中为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.0k注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得与之间的关系式,以后再介绍.utut解:2007年8月南京航空航天大学理学院数学系8例3R-L-C电路如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系9电路的Kirchhoff第二定律:设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电流经过电感L,电阻R和电容的电压降分别为其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到,,,CQRIdtdIL.0)(CQRIdtdILte因为于是得到,dtdQI.)(122dttdeLLCIdtdILRdtId这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.解:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系10例4传染病模型:长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.:,,假设条件为时间以天为计量单位不变考察地区的总人数假设在疾病传播期内所N).()()()()1(titst和别为在总人数中所占比例分病人和已感染者健康人群中易感染者在时该.,)2(称日接触率的平均人数是每个病人每天有效接触2007年8月南京航空航天大学理学院数学系11解:根据题设,每个病人每天可使.)(个健康者变为病人ts由于病人总人数为),(tNi所以每天共有()().Nstit个健康者被感染于是病人增加率为,NsidtdiN再由初始条件得又因,1)()(tits)1(iidtdi0)0(ii2007年8月南京航空航天大学理学院数学系12练习1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数,求该曲线所满足的微分方程.2a:),(距分别为的切线的横截距与纵截过点yx.''xyyyyx和解:由题目条件有:2''))((21axyyyyx2007年8月南京航空航天大学理学院数学系132.求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.解:设所求的曲线方程为).(xfy由导数的几何意义,应有,2)('xxf即.2)(2CxCdxxxf又由条件:曲线过(1,3),即,3)1(f于是得.2C故所求的曲线方程为:.22xy2007年8月南京航空航天大学理学院数学系14基本概念2007年8月南京航空航天大学理学院数学系15定义:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程2007年8月南京航空航天大学理学院数学系16如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程如2007年8月南京航空航天大学理学院数学系17如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.2.偏微分方程如都是偏微分方程.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系18定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.2)1(xdxdy是一阶微分方程；0(2)ydxxdy是二阶微分方程；0)3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程.sin35)4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶如:2007年8月南京航空航天大学理学院数学系19)1(0),,dxdyy,F(x,nndxydn阶微分方程的一般形式为.,,,,,dxdyy,x,0),,dxdyy,F(x,是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里xydxyddxyddxydnnnnnn一般要求解出最高阶导数：,,,,nnnndydydyfxydxdxdx2007年8月南京航空航天大学理学院数学系20通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组：21121232,,,,nnnndydydydydyyyyyydxdxdxdxdx,,,,nnnndydydyfxydxdxdx1223112,,,,nnnndyydxdyydxdyydxdyfxyyydx2007年8月南京航空航天大学理学院数学系21一阶微分方程组的一般形式：11122212212,,,,,,,,,,,,nnnndxftxxxdtdxftxxxdtdxftxxxdt向量形式,()dttdtxfx2007年8月南京航空航天大学理学院数学系222)1(xdxdy是线性微分方程.0(2)ydxxdysin35)4(2244txdtxddtxd三线性和非线性0),,dxdyy,F(x,nndxyd如.,,,dxdyy阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxydnn1.如果方程2007年8月南京航空航天大学理学院数学系23是非线性微分方程.如0)3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111()()()(2)nnnnndydyaxaxyfxdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程2007年8月南京航空航天大学理学院数学系24四微分方程的解定义:,),(满足条件如果函数Ixxy;)()1(阶的连续导数上有直到在nIxy,0))(),(),(,(:)2('xxxxFIxn有对.0),,dxdyy,F(x,(x)y上的一个解在为方程则称Idxydnn2007年8月南京航空航天大学理学院数学系25例2.),(0ycosxysinx,y上的一个解在都是微分方程验证y证明:由于对sinx,yxsinycosx,y'(,),x故对有yyxsin0xsin.),(0ysinxy上的一个解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一个解在是微分方程同理y2007年8月南京航空航天大学理学院数学系261显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),,dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系27例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.yxyx和和隐式解:.122yx2007年8月南京航空航天大学理学院数学系282通解与特解定义如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程yn阶微分方程通解的一般形式为),,,(1nccxy.,,1为相互独立的任常数其中ncc2007年8月南京航空航天大学理学院数学系29注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),,,(,),,,(11nnccxnccxy0),,,(),,,()1(2)1(1)1('2'1'2121)1('nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中2007年8月南京航空航天大学理学院数学系30注2:.),,,(,0),,,,(),,,(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.2007年8月南京航空航天大学理学院数学系31在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如.0ycosxysinx,y的特解都是方程y中分别取可在通解cosxsinxy21cc:,0,1c21得到c:,1,0c21得到csinx,ycosx.y定义2007年8月南京航空航天大学理学院数学系323定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分