第二章 麦克斯韦方程

主要内容Maxwell方程组、宏观电磁场的边界条件及坡印廷定理第二章麦克斯韦方程麦克斯韦方程组本构关系电磁场的边界条件复数形式的麦克斯韦方程坡印廷定理及坡印廷矢量麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组；时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。0BDBEtDHJt全电流定律电磁感应定律磁场的散度定律（磁通连续性原理、不存在磁单极子）电场的散度定律（电场的通量定理）2.1麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组lSDHdlJdStlSBEdldSt0SBdSSVDdSdV0BBEtH：磁场强度，B：磁感应强度；E：电场强度；D：电位移矢量第一项全电流安培定律•物理意义：–表示磁场的“漩涡源”是由传导电流和位移电流；•什么是传导电流？–由电荷的定向运动形成的电流•什么是位移电流？–电场随时间变化形成的“电流”–Maxwell对位移电流的认识JDtDHJtMaxwell认为：电流由两个部分组成，一部分为传导电流，另一部分他称之为位移电流，即总电流密度：dJJJJJ总传导位移第二项推广的法拉第电磁感应定律BEtFaraday电磁感应定律Faraday从1820年开始探索磁场产生电场的可能性，1831年实验发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，闭合导线中有感应电流产生，感应电流方向总是以激发磁通量对抗原磁通量的改变进一步的实验还证明:只要闭合曲线内磁通量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回路上，同样存在于非导体回路上，并满足：ddddlstElBs曲面磁通量改变率回路的电动势BEtFaraday电磁感应实验定律表明：变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场的性质，变化的磁场是其旋涡源。（变化）磁场电场BEt第三项和第四项第三项指的是不存在独立的磁荷（磁单极子），磁力线是闭合的（即连续）第四项指的是存在独立的电荷，无旋电场的电力线是起于正电荷，止于负电荷电流连续性原理：()()0()000DDHJHJttDDJJttDJt0BD旋度的散度恒为零•无源麦克斯韦方程组DHt0B0DBEtDHJt0BDBEt00J思考：麦克斯韦方程的物理意义是什么呢？麦克斯韦方程组揭示的物理涵义时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场；电场和磁场互为激发源，相互激发；电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量；麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。（他的这一预言在Maxwell去世后（1879年）不到10年的时间内，由德国科学家Hertz通过实验证实。）说明：静态场只是时变场的一种特殊情况。±⊝⊝⊖⊕⊖⊕电磁波产生电路示意图2.2本构关系1.什么是本构关系？媒质电磁特性相联系的常量之间或源与场量之间的关系，又称本构方程。包括媒质分子极化、磁化和电子传导机理；本构关系是对各种媒质的一种描述，包括电介质、磁介质和导电媒质；2.实验表明，各向同性的媒质中，本构关系可以描述为：9700F/mH/mS/m;,110/,410/36FmHmDEBHJE、和分别称为介电常数、磁导率和媒质的电导率，它们的单位分别为、和数值与媒质的类型有关真空中参考关于介质极化和磁化的分析麦克斯韦方程组的限定形式在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：DEBHJE将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得0H()EHEtEHEt麦克斯韦方程组限定形式注：麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。§2.3电磁场的边界条件思考：边界上的电磁场问题实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。所谓边界条件，即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以Maxwell方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件。本节内容2.3.1不同介质分界面上的边界条件H的切向分量的边界条件E的切向分量的边界条件D的法向分量的边界条件B的法向分量的边界条件2.3.2理想导体表面的边界条件H的切向分量的边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，并且宽度趋于0；电流垂直纸面向里。利用全电流的安培环路定理可以得到：1212ˆˆˆ()ˆ()JssnNJNnHHHHlSDHdlJdStE的切向分量的边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，并且宽度趋于0；利用推广的法拉第电磁感应定律可以得到：1212ˆ()0ˆ()0nEEnEElSBEdldStD的法向边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。让h→0，得到：12ˆ()snDDSVDdSdVB的法向边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。h→0，得到：12ˆ()0BBn0SBdS12121212ˆHHJˆ0ˆ(BB)0ˆ(DD)ssnnEEnn介质边界条件一般表达式:2.3.2理想导体表面的边界条件什么是理想导体？电导率无穷大的导体称为理想导体。通常电导率很大的导体都认为是理想导体，如金、银、铜等常见金属。理想导体的特点：电力线不能进入理想导体内部，故其内部不存在电场；由于理想导体内部不存在电场，所以也就不存在时变磁场；2212120012111211ˆHHJˆ0ˆ(BB)0ˆˆJˆ0ˆB)ˆD0D(DsEHsssnHnEnnnnEEnn一侧为导的边界条件表达式结论：电力线垂直于金属表面，磁力线平行于金属表面2.4复数形式的麦克斯韦方程2.4.1正弦电磁场的复数表示法2.4.2复数形式的Maxwell方程2.4.3复数形式和瞬时值形式的转换2.4.1正弦电磁场的复数表示法电路中正弦量有三要素：振幅、频率和相位。)cos(2)(ttiIjjjeIId()2sin()ditttIjeII正弦电磁场也有三要素：振幅,频率和相位。)cos(),,(2),,,(tzyxtzyxFFj),,(ezyxFF)sin(),,(2tzyxtFFieFFjj复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示,,,,,cosxxmxExyztExyzt,,,,,cosyymyExyztExyzt,,,,,coszzmzExyztExyzt用复数的实部表示jjReeReexttxmxxmEEEjjReeReeyttymyymEEEjjReeReezttzmzzmEEE式中:jjjeeexyzxmxmymymzmzmEEEEEE称为时谐电场的复振幅故jjReeReexxyyzztxxmyymzzmtmEEEEEEEeeeeeeE式中mxxmyymzzmEEEEeee称为时谐电场的复矢量时谐场对时间的导数jjjReeReeRejetttmmmtttEEEE22j2j22ReeReettmmttEEE二、复数形式的麦氏方程由麦氏第一方程tDHJjjjReeReeRejetttmmmHJD设为时谐场将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换jjjReeReejetttmmmHJDjjejettmmmHJD约定不写出时间因子，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式jetjHJD同理其他三个麦氏方程jEB0BD◇用复数形式研究时谐场称为频域问题。◇复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义,2.实数形式代表真实场，具有明确物理意义；3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；HES（称为二次式），只能用场量的瞬时形式表示。说明:2.4.2复数形式的Maxwell方程SDJlHd)j(dSl0dSSBSlSBlEdjdqSSDdDJHjBEjD0BSDJlHd)j(dSl0dSSBSlSBlEdjdqSSDdDJHjBEjD0B2.4.3复数形式和瞬时值形式的转换若复数形式为：则瞬时值形式为：()jkzmEEeRe[]cos()jtmEEeEtkz2.5坡印廷定理及坡印廷矢量2.5.1坡印廷定理坡印廷定理坡印廷矢量2.5.2正弦电磁场的坡印廷定理和坡印廷矢量电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷定理(Poyntingtheorem)关于电磁场中能量流动的一个定理。1884年由J.H.坡印廷提出。他认为电磁场中的电场强度E与磁场强度H叉乘所得的矢量,即E×H，代表场中能流密度，即在单位时间内穿过垂直于此矢量方向的单位表面的能量。坡印廷定理在时变场中，能量密度为体积V内储存的能量为HBED2121me（1）VHBEDVd21dVVwW）（（2）电场能量密度磁场能量密度)2121(HBEDttw)()(EHJHEBHDEtt))((JEHEtw代入式(3)得d()ddTVSVWwpttVEHSV式(2)对t求导，则有)()()(HEEHHE矢量恒等式VdVtwtW（3）2TEp