平行线典型例题

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例、如图,∠1=∠2,∠3=110°,求∠4.例、如图,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A=37°,求∠D的度数.例、如图,AB,CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋固定在A,C两点,点E是橡皮筋上的一点,拽动E点将橡皮筋拉紧后,请你探索∠A,∠AEC,∠C之间具有怎样的关系并说明理由。(提示:先画出示意图,再说明理由)提示:这是一道结论开放的探究性问题,由于E点位置的不确定性,可引起对E点不同位置的分类讨论。本题可分为AB,CD之间或之外。结论:①∠AEC=∠A+∠C②∠AEC+∠A+∠C=360°③∠AEC=∠C-∠A④∠AEC=∠A-∠C⑤∠AEC=∠A-∠C⑥∠AEC=∠C-∠A.例、如图,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为()A、80B、50C、30D、20例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α=43°,则∠β的度数是()A、43°B、47°C、30°D、60°例、如图,点A、B分别在直线CM、DN上,CM∥DN.(1)如图1,连结AB,则∠CAB+∠ABD=;(2)如图2,点1P是直线CM、DN内部的一个点,连结1AP、1BP.求证:BDPBAPCAP111=360°;(3)如图3,点1P、2P是直线CM、DN内部的一个点,连结1AP、21PP、BP2.试求BDPBPPPAPCAP221211的度数;(4)若按以上规律,猜想并直接写出211PAPCAP…BDP5的度数(不必写出过程).AMBCNDP1AMBCND图21P1P2AMBCND图3例、如图,已知直线l1∥l2,且l3和l1、l2分别交于A、B两点,点P在AB上.(1)试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由;(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化?(3)如果点P在A、B两点外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B不重合)例、如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时,求证:∠APB=∠PAC+∠PBD;(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?(直接回答成立或不成立)(3)当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.例、如图,AB∥CD,则∠2+∠4﹣(∠1+∠3+∠5)=_________.例、如图,直线a∥b,那么∠x的度数是_________.例、如图,AB∥CD,∠ABF=∠DCE。试说明:∠BFE=∠FEC。ABCDFE例、如图,直线AB、CD与EF相交于点G、H,且∠EGB=∠EHD.(1)说明:AB∥CD(2)若GM是∠EGB的平分线,FN是∠EHD的平分线,则GM与HN平行吗?说明理由例、如图,已知AB//CD,BE平分ABC,DE平分ADC,BAD=70O,(1)求EDC的度数;(2)若BCD=40O,试求BED的度数.例、如图,DB∥FG∥EC,∠ACE=36°,AP平分∠BAC,∠PAG=12°,则∠ABD=_________度.例、如图,已知,DAABDE平分,ADCCE平分,1290,BCD求证:BCAB.例、如图,AB∥EF,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D,那么BE⊥DE,为什么?例、两个角有一边在同一条直线上,而另一条边互相平行,则这两个角()A.相等B.互补C.相等或互补D.都是直角变式:如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30,那么这两个角是A.42138、B.都是10C.42138、或1010、D.以上都不对例、如图,若∠1=∠2,AB∥CD,试说明∠E=∠F的理由。例、已知:如图,BE∥DF,∠B=∠D。求证:AD∥BC。例、如图,已知DF∥AC,∠C=∠D,你能否判断CE∥BD?试说明你的理由.例、已知:如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求证:CD⊥AB.例、如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.EDCBA21DCBAFE12例、如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,试判断ED与FB的位置关系,并说明为什么.例、如图,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.(1)AE与FC会平行吗?说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?(3)BC平分∠DBE吗?为什么?例、如图,CB∥OA,∠B=∠A=100°,E、F在CB上,且满足∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF.(1)求∠EOC的度数;(2)若平行移动AC,那么∠OCB:∠OFB的值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值;(3)在平行移动AC的过程中,是否存在某种情况,使∠OEB=∠OCA?若存在,求出∠OCA度数;若不存在,说明理由.例、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m射到平面镜上,被a反射到平面镜b上,又被b镜反射,若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2=_________°,∠3=_________°;(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3=_________°,若∠1=40°,则∠3=_________°;(3)由(1)、(2)请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3=_________°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行,请说明理由.例、四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线,(1)分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系;(2)选择其中一个图形,证明你得出的结论.例、探索与发现:(1)若直线a1⊥a2,a2∥a3,则直线a1与a3的位置关系是_________,请说明理由.(2)若直线a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,则直线a1与a4的位置关系是_________(直接填结论,不需要证明)(3)现在有2011条直线a1,a2,a3,…,a2011,且有a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5…,请你探索直线a1与a2011的位置关系.例、如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,试说明AD平分∠BAC.例、已知,如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,FH⊥AB于H.问CD与AB有什么关系?例、已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,求证:AB∥CD.例、如图,已知∠HDC与∠ABC互补,∠HFD=∠BEG,∠H=20°,求∠G的度数.例、如图AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AD∥BE.例、如图,∠1=∠2,∠2=∠G,试猜想∠2与∠3的关系并说明理由.例、如图,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠BCD=124°,∠DEF=80°.(1)观察直线AB与直线DE的位置关系,你能得出什么结论并说明理由;(2)试求∠AFE的度数.例、如图,点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上,∠1+∠2=180°,∠3=∠B,判断∠CEB与∠NFB是否相等?请说明理由.例、如图,已知OA∥BE,OB平分∠AOE,∠4=∠5,∠2与∠3互余;那么DE和CD有怎样的位置关系?为什么?例、已知:如图,AB∥CD,BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,∠ACE=90°.(1)请问BD和CE是否平行?请你说明理由.(2)AC和BD的位置关系怎样?请说明判断的理由.例、如图,已知∠1+∠2=180°,∠DEF=∠A,试判断∠ACB与∠DEB的大小关系,并对结论进行说明.例、如图,DH交BF于点E,CH交BF于点G,∠1=∠2,∠3=∠4,∠B=∠5.试判断CH和DF的位置关系并说明理由.例、如图,已知∠3=∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D=180°.例、如图,已知:点A在射线BG上,∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠EAB=∠BCD.求证:EF∥CD.例、如图,六边形ABCDEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,CM平分∠BCD交AF于M,FN平分∠AFE交CD于N.试判断CM与FN的位置关系,并说明理由.例、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E、F分别在AD、BC边上,连接AC交EF于G,∠1=∠BAC.(1)求证:EF∥CD;(2)若∠CAF=15°,∠2=45°,∠3=20°,求∠B和∠ACD的度数.例、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题:(1)当t为何值时,PE∥AB;(2)设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ=225S△BCD?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE的面积是否发生变化?说明理由.2013年2月蓬蒿人的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共21小题)1.如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,可得AD平分∠BAC.理由如下:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)∴∠ADC=∠EGC=90°,(垂直的定义),∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等)∠E=∠3,(两直线平行,同位角相等)又∵∠E=∠1(已知),∴∠2=∠3(等量代换)∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)考点:平行线的判定与性质;角平分线的定义;垂线.711110专题:推理填空题.分析:先利用同位角相等,两直线平行求出AD∥EG,再利用平行线的性质求出∠1=∠2,∠E=∠3和已知条件等量代换求出∠2=∠3即可证明.解答:解:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)∴∠ADC=∠EGC=90°,(垂直的定义)∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等)∠E=∠3,(两直线平行,同位角相等)又∵∠E=∠1(已知)∴∠2=∠3(等量代换)∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).点评:本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.2.已知,如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,FH⊥AB于H.问CD与AB有什么关系?考点:平行线的判定与性质;垂线.711110专题:探究型.分析:由∠1=∠ACB,利用同位角相等,两直线平行可得DE∥BC,根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB,故推出CD∥FH,再结合已知FH⊥AB,易得CD⊥AB.解答:解:CD⊥AB;理由如下:∵∠1=∠ACB,∴DE∥BC,∠2=∠DCB,又∵∠2=∠3,∴∠3=∠DCB,故CD∥FH,∵FH⊥AB∴CD⊥AB.点评:本题是考查平行线的判定和性质的基础题,比较容易,稍作转化即可.3.已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,求证:AB∥CD.考点:平行线的判定与性质.711110专题:证明题.分析:首先由AE⊥BC,FG⊥BC可得AE∥FG,根据两直线平行,同位角相等及等量代换可推出∠A=∠2,利用内错角相等,两直线平行可得AB∥CD.解答:证明:∵AE⊥BC,FG⊥BC,∴∠AMB=∠GNM=90°,∴AE∥FG,∴∠A=∠1;又∵∠2=∠1,∴∠A=∠2,∴AB∥CD.点评:本题考查了平行线的性质及判定,熟记定理是正确解题的关

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