2 二重积分的计算方法

第二节二重积分的计算法一问题的提出二直角坐标计算二重积分利用三利用极坐标计算二重积分四小结Ddyxf),(iiniif),(lim10.按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的.那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出二、利用直角坐标计算二重积分二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此,先介绍：1、积分域D:如果积分区域为：,bxa).()(21xyx［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xyX型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；b、).()(21xx（1）X-型域（2）Y-型域：,dyc［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDY型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、).()(21yy).()(21yxyaxbzyx)(xA),(yxfz)(1xy)(2xy2、X-型域下二重积分的计算:由几何意义，若此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形面积为：DVdxdyyxf),((曲顶柱体的体积)0),(yxf则yZ)(x1)(x2),(yxfz)()(),()(xxdyyxfxA21DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所以：dxdy.yf(xba(x)(x)])[21dy.yf(xdxba(x)(x))21•注:若ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域先Y后X;3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：3、Y-型域下二重积分的计算：同理：［Y－型域下］)()(21),()(yydxyxfyB于是Ddcyydyyxfdyxf]),([),()()(21面积为：为曲边梯形，常数截立体，其截面也用y知的立体体积.亦为平行截面面积为已1）积分次序:Y-型域,先x后Y;2）积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于X轴的射线穿插区域。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21也可记为注意:注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。4、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.例1求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解：两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxy2xy2yx2xy2yx［X－型］xyxx210Ddxdyyx)(2dxdyyxxx])([1022dxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx［Y－型］yxyy210Ddxdyyx)(2dydxyxyy1022])([.14033D例2解：围成．由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxDX-型xxDdyyxdxdyx12221222112dxyxxx213)(dxxx.49.21,1:xxyxD），左边交点坐标为（11所围成的闭区域。及是由抛物线其中计算2,2xyxyDxydD例3解：（如图）将D作Y型2212yyDxydxdyxyddyyyydyyxyy21522212])2([2122855]62344[21216234yyyy2,4-122yx2yx1,1xy)(yx后先5、若区域为组合域，如图则：3D2D1D.321DDDD06、如果积分区域既是X－型，又是[Y－型],则有Dbaxxdxfdydyxf)()(21][),(dcyydyfdx)()(21][例4改变积分yydxyxfdydxyxfdy20303110),(),(的积分次序.xxdyyxfdx32120),(.解：积分区域如图xyo231yx3yx2yxy20,10yxy30,31xyxx321,20原式例5改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解：=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2a例6解：.10,11:.2yxDdxyD其中计算1D2D3D先去掉绝对值符号，如图dxydyxdxyDDDD321)()(2221211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511例7计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］7.小结三利用极坐标系计算二重积分当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。等例22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeAoDiirriirrriiiiiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf1直系与极系下的二重积分关系（如图）iiiiirrr2221)(21i（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：rdrddxdyDDryrxrxysincos2极系下的二重积分化为二次积分的上下限关键是定出,r的上下限：定用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限的上下限：定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。.)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(（1）区域如图1,).()(21r具体地（如图）图1（2）区域如图2,).()(21r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1r图2AoD.)sin,cos()(0rdrrrfd（3）区域如图3,).(0rDrdrdrrf)sin,cos()(r图3Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd（4）区域如图4).(0rDoA,20)(r图4例1计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为R的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：Rr0，20.dxdyeDyx22Rrrdred0202).1(2Re20)1(212deR例2求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee例3求双纽线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解根据对称性有14DD在极坐标系下)(2)(222222yxayx,2cos2ar,222arayx1D由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2a解)0,(yx倍，限部分立体体积的为第一卦由对称性，所求体积4VaxyxD2:22dxdyyxaVD22244.,2acos20Dr，0：在极系下：（如图）.)(2)(4例2222222所围成图形的面积和求双纽线ayxyxayxcos2aro2aDdxdyyxaVD22244从而rdrrada20cos2022442033)sin1(332da)322(3323a例5写出积分21110),(xxdyyxfdx的极坐标二次积分形式1yx122yx解如图：在极坐标系下sincosryrx圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd20计算二重积分应该注意以下几点：先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。四、小结