高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型_含详解

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直线和圆锥曲线常考题型与经典结论椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上,则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.7.椭圆22221xyab(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点12FPF,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab(a>b>0)的焦半径公式:10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为AB的中点,则22OMABbkka,即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.13.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)上,则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.6.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.7.双曲线22221xyab(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点12FPF,则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.8.双曲线22221xyab(a>0,b>o)的焦半径公式:(1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上时,10||MFexa,20||MFexa.当00(,)Mxy在左支上时,10||MFexa,20||MFexa9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.11.AB是双曲线22221xyab(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为AB的中点,则0202yaxbKKABOM,即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.13.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)高三数学备课组椭圆1.椭圆22221xyab(a>b>o)的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a>0,b>0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且2020BCbxkay(常数).3.若P为椭圆22221xyab(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF,则tant22accoac.4.设椭圆22221xyab(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记12FPF,12PFF,12FFP,则有sinsinsincea.5.若椭圆22221xyab(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤21时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221xyab(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.8.已知椭圆22221xyab(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)22221111||||OPOQab;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;(3)OPQS的最小值是2222abab.9.过椭圆22221xyab(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||||2PFeMN.10.已知椭圆22221xyab(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa.11.设P点是椭圆22221xyab(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF,则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122tan2PFFSb.12.设A、B是椭圆22221xyab(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos|||sabPAacco.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABabSba.13.已知椭圆22221xyab(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)高三数学备课组双曲线1.双曲线22221xyab(a>0,b>0)的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过双曲线22221xyab(a>0,b>o)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且2020BCbxkay(常数).3.若P为双曲线22221xyab(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF,则tant22cacoca(或tant22cacoca).4.设双曲线22221xyab(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记12FPF,12PFF,12FFP,则有sin(sinsin)cea.5.若双曲线22221xyab(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤21时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为双曲线22221xyab(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则21||2||||AFaPAPF,当且仅当2,,AFP三点共线且P和2,AF在y轴同侧时,等号成立.7.双曲线22221xyab(a>0,b>0)与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC.8.已知双曲线22221xyab(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.(1)22221111||||OPOQab;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba;(3)OPQS的最小值是2222abba.9.过双曲线22221xyab(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||||2PFeMN.10.已知双曲线22221xyab(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则220abxa或220abxa.11.设P点是双曲线22221xyab(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF,则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122cot2PFFSb.12.设A、B是双曲线22221xyab(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PAB,PBA,BPA,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos||||s|abPAacco.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABabSba.13.已知双曲线22221xyab(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.直线和椭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