高考数学总复习 第10章 第2节 排列与组合课件 理 新人教A版

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第二节排列与组合1.考纲要求考情分析1.理解排列、组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.1.从考查内容看，排列与组合知识的综合应用是本节的重点，也是高考的常考内容，重点突出对常用解题策略的考查．2.从考查形式看，常以实际问题为背景，以选择题、填空题的形式考查，难度中等.一、排列与组合排列与排列数组合与组合数定义1.排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2.排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.1.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的————————————————，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数按照一定的顺序排成一列排列的个数所有合成一组所有组合的个数排列与排列数组合与组合数公式排列数公式Amn＝＝.组合数公式Cmn＝AnmAmm＝n！n－m！m！＝性质(1)Ann＝—————————————————————＝.(2)0！＝.(1)C0n＝(2)Cmn＝.(3)Cmn＋Cm－1n＝.备注n、m∈N*且m≤n.n(n－1)…(n－m＋1)nn－1…n－m＋1mm－1…1n！n－m！n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1n！11Cn－mnCmn＋1二、排列与组合的区别区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素有无，有顺序就是，无顺序就是．顺序排列组合1．从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A．9个B．24个C．36个D．54个解析：选出符合题意的三个数有C13C23＝9种方法，每三个可排成A33＝6个三位数，∴共有9×6＝54个符合题意的三位数．答案：D2．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种B．80种C．100种D．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C25×C14＋C15×C24＝70(种)．答案：A3．已知{1,2}⊆X⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有()A．2个B．6个C．4个D．8个解析：由题意知集合X中的元素1,2必取，另外从3,4,5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故有23＝8(个)．答案：D4．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．解析：由于有两个o，只要在4个位置选2个安排即可，余下两个字母全排列，故所有的数目为C24A22＝12，写对的只有1种，故共有11种错误的可能．答案：115．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．解析：甲、乙排在一起，用“捆绑”法排列，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A22·A23＝24(种)．答案：24【考向探寻】1．排列数有关的计算．2．排列的应用问题(如排队与排数问题等)．【典例剖析】(1)(2012·大纲全国高考)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A．12种B．18种C．24种D．36种(2)若3A3x＝2A2x＋1＋6A2x，则x＝______.(3)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．①选其中5人排成一排；②排成前后两排，前排3人，后排4人；③全体排成一排，甲不站排头也站排尾；④全体排成一排，女生必须站在一起；⑤全体排成一排，男生互不相邻；⑥全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．(1)利用分步乘法计数原理及排列知识解题．(2)根据排列数的计算公式求解．(3)根据题中的限制条件，选择相应的方法求解．答案：A(1)解析：①先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．②再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．答案：5(2)解析：由题意得3x(x－1)(x－2)＝2·(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴3(x－1)·(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝23(舍)，∴x＝5.(3)解：①从7人中选5人来排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2520种方法．②分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37A44＝5040种．③(优先法)甲为特殊元素，先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600种方法．④(捆绑法)将女生看做一个整体，与3名男生一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种方法．⑤(插空法)男生互不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1440种方法．⑥把甲、乙及中间3人看做一个整体，先排甲、乙两人有A22种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A35种方法，最后把甲、乙及中间3人看做一个整体，与剩余2人全排列，有A33种方法，故共有A22·A35·A33＝720种方法．求排列问题的常用方法(1)直接法，把符合条件的排列数直接列式计算．(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(3)排列、组合混合问题先选后排的方法．(4)相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看做一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(5)不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面排列的空当中．(6)分排问题直接处理的方法．(7)“小集团”排列问题中，先集体后局部的处理方法．(8)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．(9)正难则反，等价转化的方法．【活学活用】1．(1)有6种座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种解析：恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有A33A24＝72种排法．答案：C(2)若Ax96Ax－26，则x的取值范围是______．解析：由题意得x≥0，x≤9，0≤x－2≤6，解得2≤x≤8，根据排列数公式，原不等式化为9！9－x！6·6！8－x！，即849－x1，又∵2≤x≤8，∴原不等式解集为x∈{2,3,4,5,6,7,8}．答案：{2,3,4,5,6,7,8}【考向探寻】1．组合数有关的计算2．组合的应用问题．【典例剖析】(1)若1Cm5－1Cm6＝710·Cm7，则m＝______.(2)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中，各有多少种选派方法．①男运动员3名，女运动员2名；②至少有1名女运动员；③至少有1名队长参加；④既要有队长，又要有女运动员．(1)根据组合的计算公式求解．(2)根据题中的限制条件，结合组合的知识解决．(1)解析：由题意可知m的取值范围是0≤m≤5，且m∈N.由题意得m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7m！7－m！10×7！，整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.又∵0≤m≤5，∴m＝2.答案：2(2)解：①第一步：选3名男运动员，有C36种选法．第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36C24＝120种选法．②解法1：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246种．解法2：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男动运员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246种．③解法1：(可分类求解)“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38.所以共有2C48＋C38＝196种选法．解法2：(间接法)从10人中任选5人有C510种选法．其中不选队长的方法有C58种，所以“至少有1名队长”的选法为C510－C58＝196种．④当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法，不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48－C45种选法，所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191种．(1)组合问题的两类题型①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．(2)解答组合问题的基本思路①整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集为空集，即“不重”；②局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．【活学活用】2．(1)某中学生要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A．25种B．35种C．840种D．820种答案：A解析：若选男生甲，则有C35＝10种不同的选法，同理，选女生乙也有10种不同的选法，两人都不选有C45＝5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案．(2)C38－n3n＋C3n21＋n的值为______．解析：依题意得38－n≥0，3n≥38－n，n＋21≥3n，38－n，3n，21＋n∈N*.解得192≤n≤212且n∈N*，∴n＝10.∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝466.答案：466【考向探寻】1．排列、组合混合交叉问题．2．排列、组合与概率问题．3．排列、组合与其他知识交叉问题．【典例剖析】(1)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有A．30种B．36种C．42种D．48种(2)(12分)已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．①过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？②以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？③上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？题号分析(1)利用直接法或间接法求解．(2)①以α内点的个数为标准分类解决；②根据三棱锥的四个顶点所在平面为标准分类解决；③利用底面积相等，高相等解题.(1)方法1：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法，即C26C24－2C15C24＋C14C13＝42.方法2：分两类：甲、乙同组，则只能排在15日，有C24＝6种排法；甲、乙不同组，有C14C13(A22＋1)＝36种排法．故共有42种方法．故选C.答案：C(2)①所作出的平面有三类：(ⅰ)α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；(ⅱ)α内2点，β内1点确定的平面，有C