高考数学总复习 第2章 第4节 指数与指数函数课件 新人教A版

第二章函数、导数及其应用第四节指数与指数函数1.考纲要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念、指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.1.从近几年的高考命题看，对本节的考查以基础知识为主，一是考查函数的图象、运算、数值大小的比较；二是与二次函数、方程、不等式等结合，考查函数的性质及应用．2.题型主要以选择题、填空题为主，如运算、比较大小、性质运用等；与方程、不等式结合时以解答题形式出现，属中档题.一、根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有，它们互为________负数没有偶次方根xn＝a正数负数两个相反数na±na(a＞0)(2)两个重要公式②()n＝(注意a必须使有意义)．nanaa二、有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝(n∈N*)；②零指数幂：a0＝(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；11apnam⑤负分数指数幂：＝＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂无意义．1nam0(2)有理数指数幂的性质①aras＝(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂也适用．三、指数函数的图象和性质函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象0＜a＜1a＞1图象特征在x轴，过定点______当x逐渐增大时，图象逐渐下降呈“捺”状当x逐渐增大时，图象逐渐上升呈“撇”状上方(0,1)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增函数值变化规律当x＝0时，_______当x＜0时，；当x＞0时，___________当x＜0时，；当x＞0时，_______y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1提示：关于y轴对称．指数函数y＝ax与y＝1ax(a＞0且a≠1)的图象有何关系？1．已知a14，则化简44a－12的结果是()A.1－4aB.4a－1C．－1－4aD．－4a－1解析：∵a14，∴4a－10，∴44a－12＝1－4a.答案：A2．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)解析：令x＝1，得f(1)＝4＋a0＝5，故定点P的坐标为(1,5)．答案：A3．已知函数f(x)＝fx＋2，x212x，x2，则f(－3)的值为()A．2B．8C.18D.12解析：f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝123＝18.答案：C4．函数y＝32x－1－127的定义域是________．解析：由32x－1－127≥0得32x－1≥127＝3－3，∴2x－1≥－3，解得x≥－1.∴函数的定义域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)5．函数f(x)＝ax(0＜a＜1)，x∈[1,2]的最大值比最小值大a2，则a的值为________．解析：由已知可得a2＝a－a2(0＜a＜1)，解得a＝12.答案：12【考向探寻】1．根式、指数幂的化简与求值．2．有条件(限制条件)的指数式的化简与求值．3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．【典例剖析】(1)根据有理数指数幂的运算性质求解；(2)把根式化为有理数指数幂，然后化简、计算；(3)由求得x，代入式子化简计算．解：(1)原式＝(0.3)2＋－259＝9100＋53－53＝9100.(3)由得x＝a＋1a＋2，∴x2－4x＝x(x－4)＝a＋1a＋2a＋1a－2＝a＋1a2－4＝a2＋1a2－2＝a－1a2，∴原式＝a＋1a＋a－1a2a＋1a－a－1a2＝a2.【互动探究】在本例(3)中，若将条件改为“已知求下列各式的值．(1)a2＋a－2；”则如何解？解：(1)∵＝3，指数幂化简与求值的原则及要求(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算.【考向探寻】1．画指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象及图象的应用．2．指数函数的性质及应用．【典例剖析】(1)设函数f(x)＝2x1＋2x－12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是________．(2)已知函数y＝13|x＋1|.①作出该函数的图象；②由图象指出函数的单调区间；③由图象指出当x取什么值时函数有最值．题号分析(1)①化简解析式；②利用单调性．(2)①化简解析式；②画出函数的图象；③根据图象解题即可.(1)解析：f(x)＝2x1＋2x－12＝1－11＋2x－12＝12－12x＋1.∵t＝2x＋1在R上递增，且2x＋11，∴f(x)在R上是增函数，－12f(x)12，故y＝[f(x)]的值域是[－1,0]．答案：[－1,0](2)解：①由已知可得：y＝13|x＋1|＝13x＋1x≥－13x＋1x＜－1，其图象由两部分组成：一部分是：y＝13x(x≥0)――→向左平移1个单位y＝13x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x＜0)――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x＜－1)．图象如图：②由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．③由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．(1)指数函数y＝ax与y＝1ax(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．(2)函数y＝a|x|(a＞0，a≠1)的图象和性质①函数y＝a|x|(a＞0，a≠1)的图象如下：②函数y＝a|x|(a＞0，a≠1)是偶函数．当a＞1时，函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增；当0＜a＜1时，函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．【活学活用】1.(1)如图所示的是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc解析：令x＝1，由图象知c1d1a1b1，∴ba1dc.答案：B(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析：数形结合，当a1时，如图①，只有一个公共点，当0a1时，如图②，由图象可知02a1，∴0a12.答案：0，12【考向探寻】1．利用指数函数图象、性质解决有关综合问题．2．利用指数函数求有关参数的取值范围．【典例剖析】(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．(1)fx为奇函数→f0＝0且f－1＝－f1→a，b的值(2)由1判断fx的单调性→利用奇偶性将原不等式转化为两函数值大小关系→利用单调性得关于t的不等式→k的范围(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1………………2分从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.………………………4分(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.………6分又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).…………………8分因f(x)是减函数，所以t2－2t＞－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0.……………………10分从而判别式Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－13.因此所求k的取值范围为－∞，－13.……………12分(1)解决恒成立问题时常转化为求最值来解决．(2)指数不等式的解法．对于不等式af(x)ag(x)(a0且a≠1)，可利用指数函数的单调性求解．当0a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)；当a1时，af(x)ag(x)⇔f(x)g(x)．【活学活用】2．(2013·烟台模拟)奇函数f(x)＝m－gx1＋gx的定义域为R，其中y＝g(x)为指数函数且图象过点(2,9)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0,5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝ax(a0且a≠1)，则a2＝9，∴a＝3或a＝－3(舍去)，∴g(x)＝3x，f(x)＝m－3x1＋3x.又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴m－11＋1＝0，∴m＝1，∴f(x)＝1－3x1＋3x.(2)∵f(x)＝1－3x1＋3x＝－3x＋1－23x＋1＝－1＋23x＋1，∵y＝3x＋1递增，y＝23x＋1递减，∴f(x)为减函数．要使对任意的t∈[0,5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)0恒成立，即对任意的t∈[0,5]，f(t2＋2t＋k)－f(－2t2＋2t－5)恒成立．∵f(x)为奇函数，∴f(t2＋2t＋k)f(2t2－2t＋5)恒成立．又∵y＝f(x)在R上单调递减，∴t2＋2t＋k2t2－2t＋5在t∈[0,5]时恒成立，∴kt2－4t＋5＝(t－2)2＋1在t∈[0,5]时恒成立．而当t∈[0,5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，∴k1.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a的值．设ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.由于x∈[－1,1]，所以t∈1a，a.因此当t＝a时y取最大值，有(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)，即a＝3.本题的错解在于忽视了对参数a的讨论，误认为a1.解：设t＝ax，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a1时，t∈[a－1，a]，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0a1时，t∈[a，a－1]，ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，解得a＝13或a＝－15(舍去)．故所求a的值为3或13.在研究与指数函数有关的问题时，若底数含有参数时，要对参数的取值进行分类讨论，即分为底数a1和0a1两种情况，进而确定函数的单调性，使问题得以解决．