高考数学总复习 第2章 第8讲 函数与方程课件 理 新人教A版

第8讲函数与方程不同寻常的一本书，不可不读哟！1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.1个熟记口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2项必须防范1.函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．2.若函数f(x)在(a，b)上有零点，不一定有f(a)·f(b)0.3种必会方法1.直接法：令f(x)＝0，则有几个解就有几个零点．2.零点存在性定理法：要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．3.图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.课前自主导学1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．上述等价关系在研究函数零点、方程的根及图象交点问题时有什么作用？(1)y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是________．(2)函数f(x)＝ax－b有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．2.零点存在定理如果函数y＝f(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0呢？(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是________．①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．(2)函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)零点的分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mΔ0－b2amfm0mx1x2Δ0－b2amfm0x1mx2f(m)0根的分布(mnp为常数)图象满足条件mx1x2nΔ0m－b2anfm0fn0mx1nx2pfm0fn0fp0只有一根在(m，n)之间Δ＝0m－b2an或f(m)·f(n)0(1)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________．(2)关于x的方程x2＋mx－2＝0，其中一个根小于1，而另一个根大于1，则m的取值范围________．4．二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两端点逐步逼近________，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证________，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c；第三步：计算f(c)①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.1.f(x)＝0想一想：提示：由于三者之间有等价关系，因此，在研究函数零点、方程的根及图象交点问题中，当从正面研究较难入手时，可以转化为其等价的另一易入手的问题处理，如研究含有绝对值、分式、指数、对数等较复杂的方程问题，常转化为两熟悉函数图象的交点问题研究．填一填：(1)(12，0)；12(2)－1,0提示：b＝3a，∴g(x)＝3ax2＋3ax＝0，∴x＝－1，或x＝0.2.想一想：提示：不一定．由图(1)、(2)可知．在区间[a，b]上的连续函数，若f(a)·f(b)0则f(x)在[a，b]上定无零点(×)填一填：(1)②(2)a15或a－1提示：令f(－1)·f(1)0，得a15或a－1.3．填一填：(1)m－2或m2(2)m1提示：f(1)＝m－10，m1.4．f(a)·f(b)0一分为二零点f(a)·f(b)0想一想：提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．填一填：(0,0.5)f(0.25)核心要点研究例1(1)[2012·天津高考]函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)[2013·汕头模拟]函数f(x)＝ln(x－2)－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)[审题视点](1)把求函数f(x)的零点个数问题转化为函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图象在区间(0,1)内的交点个数问题，作出函数图象结合区间端点值即可判断结果．(2)直接利用f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)内有零点．[解析](1)解法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图象在区间(0,1)内的交点个数．作图，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C、D项；当x＝0时，y1＝－1y2＝0，当x＝1时，y1＝0y2＝－1，因此在区间(0,1)内一定会有一个交点，所以A项错误，故选B.解法二：因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋13－2＝1，故f(0)·f(1)0，又函数f(x)在(0,1)内单调，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.(2)∵f(3)＝ln1－230，f(4)＝ln2－12＝ln2－lne0，∴f(3)·f(4)0，故选C.[答案](1)B(2)C奇思妙想：本例(1)改为f(x)＝2x＋x3－m在区间(0,1)内有零点，求m的范围，如何解答？解：∵f(x)在(0,1)上单调递增，∴在(0,1)上有零点等价于f(0)·f(1)＝(1－m)(3－m)0，∴1m3.判断函数的零点或方程的根所在区间时，通常有两种方法，一是利用零点存在性定理进行判断；二是画出相应函数的图象，由图象及单调性进行直观判断．[变式探究](1)[2012·湖北高考]函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5(2)[2011·课标全国]在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A．(－14，0)B．(0，14)C．(14，12)D．(12，34)答案：(1)D(2)C解析：(1)令f(x)＝xcos2x＝0，得x＝0或cos2x＝0，故x＝0或2x＝kπ＋π2，k∈Z.即x＝0或x＝kπ2＋π4，k∈Z.又x∈[0,2π]，故k可取0,1,2,3，故零点的个数有5个．(2)∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且f(14)＝e14＋4×14－3＝e14－20，f(12)＝e12＋4×12－3＝e12－10，∴f(x)在(14，12)内存在唯一零点.例2[2012·济南模拟]若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的部分参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________．[审题视点]根据函数零点的存在性定理和用二分法求方程近似解的方法解决．[解析]由参考数据知f(1.4375)0，f(1.40625)0，f(1.4375)·f(1.40625)0，且精确到0.1时，1.4375≈1.4,1.40625≈1.4，所以函数f(x)的一个零点的近似值是1.4，也就是方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根．[答案]1.4用二分法求函数零点近似值，借助于计算器一步步求解即可，我们可以借助于表格或数轴清晰地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候就在区间长度小于精确度ε的时候．[变式探究]用二分法求方程10x＝x＋2在[0,1]上的近似解时，取区间中点c＝0.5，下一个有根区间是________．答案：[0,0.5]解析：令f(x)＝10x－x－2，f(0)＝－10，f(1)＝70，f(0.5)＝10－2.50，由于f(0)f(0.5)0，故下一个有根区间是[0,0.5].例3[2013·怀化模考]函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个为正实数的零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪(0,1]D．(－∞，1)[审题视点]函数中的二次项系数是个参数，要先对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象列不等式解决．[答案]B[解析]当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)0，即m0.故选B.分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重考查的两种数学思想，它们在本题的求解过程中体现得淋漓尽致，还要注意函数的零点有变号零点和不变号零点，如本题中的x＝1就是函数的不变号零点，对于不变号零点，函数零点的存在性定理是不适用的，因此在解决函数的零点问题时要注意这一点．[变式探究][2013·青岛模拟]设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为()A．(－94，－2]B．[－1,0]C．(－∞，－2]D．(－94，＋∞)答案：A解析：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－3x＋4－(2x＋m)＝x2－5x＋4－m，则由题意知F(x)＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而F0≥0F3≥0Δ＝52－44－m0，即4－m≥0－2－m≥0m－94，解之得－94m≤－2，故选A.课课精彩无限【选题·热考秀】[2013·成都联考]设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点[答案]D[规范解答]由题得f′(x)＝13－1x＝x－33x(x0)，令f′(x)0得x3；令f′(x)0得0x3；令f′(x)＝0得x＝3，故函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在x＝3处有极小值1－ln30.又f(1)＝130，f(e)＝e3－10，f(1e)＝13e＋10，故选D.【备考·角度说】No.1角度关键