高考数学总复习 第3章 第6节 简单的三角恒等变换课件 新人教A版

第三章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换1.考纲要求考情分析能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.从考查内容看，以考查同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式为主，主要为运用这些公式进行三角函数式的化简、求值、证明．2.从考查题型看，常以选择题、填空题的形式出现，也常出现在一些综合题中，多属于中档题.半角公式(不要求记忆)1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝；cos2α2＝；tan2α2＝.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα1．上述三组公式的作用是什么？提示：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用．2．用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.(1)sinα2＝；(2)cosα2＝；(3)tanα2＝；tanα2＝sinα1＋cosα＝.±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα1－cosαsinα2．写出第3组公式的推导过程．提示：tanα2＝sinα2cosα2＝2sinα2·cosα22cos2α2＝sinα2×1＋cosα2＝sinα1＋cosα.tanα2＝sinα2cosα2＝2sin2α22sinα2·cosα2＝2×1－cosα2sinα＝1－cosαsinα.1.sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα解析：原式＝－sin2α·cos2α1＋cos2α·－sinα＝2sinα·cosα·cos2α2cos2α·sinα＝cosα.答案：D2．函数y＝12sin2x＋3cos2x－32的最小正周期等于()A．πB．2πC.π4D．π2解析：y＝12sin2x＋32(1＋cos2x)－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3.所以T＝π.答案：A3．已知tanα＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos2α等于()A．3B．6C．12D．32解析：cos2α＋sin2α＋1cos2α＝2cos2α＋2sinα·cosαcos2α＝2＋2tanα＝3.答案：A4．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π35．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sinα＋βcosα－β＝________.解析：由题意，得tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝31－3＝－32.答案：－32【考向探寻】利用半角公式及三角恒等变换的基本思想化简三角函数式．三角函数式的化简【典例剖析】(1)已知450°α540°，则12＋1212＋12cos2α的值是A．－sinα2B．cosα2C．sinα2D．－cosα2(2)化简1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα3π2α2π.(1)观察式子的特点，应用倍角公式化简；(2)对分子、分母分别应用倍角公式化简即可．(1)解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cosα＝|sinα2|.∵450°α540°，∴225°α2270°.∴原式＝－sinα2.故选A.答案：A(2)解：原式＝2sinα2cosα2＋2cos2α2sinα2－cosα22＋22cos2α2－1＝2cosα2sin2α2－cos2α22|cosα2|＝－2cosα2·cosα|cosα2|.∵3π2α2π，∴3π4α2π，∴cosα20，∴原式＝－cosα2cosα|cosα2|＝－cosα2cosα－cosα2＝cosα.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值；(2)尽量使三角函数种数最少；(3)尽量使项数最少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．在进行三角函数式的化简中需开方时一定要注意三角函数值的符号，以避免出错．【活学活用】1．(1)已知πα2π，则cosα2等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα2解析：cos2α2＝1＋cosα2，又πα2π，所以π2α2π，所以cosα2＝－1＋cosα2.答案：C(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－x·sin2π4＋x＝________.解析：原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝12－2cos2xsin2x2sinπ4－xcosπ4－x·sin2π4＋x＝12－12sin2x22cosπ4＋xsinπ4＋x·sin2π4＋x＝12cos22xsinπ2＋2x＝12cos2x.答案：12cos2x【考向探寻】利用三角恒等变换求值．三角函数式的求值【典例剖析】(1)定义运算abcd＝ad－bc.若cosα＝17，sinαsinβcosαcosβ＝3314，0βαπ2，则β等于A.π12B．π6C.π4D．π3(2)sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.(3)已知34π＜α＜π，tanα＋1tanα＝－103.求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值．题号分析(1)根据条件求得sin(α－β)，再利用sinβ＝sin[α－(α－β)]求解．(2)利用诱导公式、倍角公式求解．(3)先求得tanα，利用倍角公式将α2化为α，再切化弦求解.(1)解析：依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝3314.∵0βαπ2，∴cos(α－β)＝1314.又∵cosα＝17，∴sinα＝437.sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，∴β＝π3.答案：D(2)解析：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝16cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°16cos6°＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116.答案：116(3)解：∵tanα＋1tanα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－13.∴3π4＜α＜π，∴tanα＝－13.∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2＝5·1－cosα2＋4sinα＋11·1＋cosα2－8－2cosα＝5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16－22cosα＝8sinα＋6cosα－22cosα＝4tanα＋3－2＝4×－13＋3－2＝－526.【互动探究】本例(3)的条件不变，结论改为“求sin2α－2cos2αsinα－π4的值．”则如何求解？解：sin2α－2cos2αsinα－π4＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα，又∵tanα＝－13，即cosα＝－3sinα，∴cos2α＋19cos2α＝1，∴cos2α＝910，又∵34π＜α＜π，∴cosα＝－31010.∴原式＝22cosα＝－22×31010＝－655.三角求值的类型及解法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，解题时要通过观察得到角之间的关系，结合三角公式转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使所求角与条件中所给角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：此类型可转化为“给值求值”来解，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合角的范围求解.【考向探寻】1．无条件的三角恒等式的证明．2．有条件的三角恒等式的证明．三角恒等式的证明【典例剖析】(12分)求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式．证法一：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x…………2分＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x…………………………………………3分＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x………………………4分＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x……………………………6分＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x………………………………8分＝4＋21＋cos4x1－cos4x………………………………………10分＝23＋cos4x1－cos4x＝右边.………………………………12分证法二：右边＝22＋1＋cos4x2sin22x………………………2分＝22＋2cos22x2sin22x………………………………………4分＝21＋cos22x4sin2xcos2x………………………………………6分＝sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x22sin2xcos2x………………………8分＝2sin4x＋cos4x22sin2xcos2x………………………………………10分＝tan2x＋1tan2x＝左边.………………………………12分三角函数式的证明(1)证明恒等式的方法：①从左到右．②从右到左．③从两边化到同一式子．原则上是化繁为简，必要时也可用分析法．(2)三角恒等式的证明主要从两方面入手：①看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化．②看函数：统一函数，向结果中的函数转化．【活学活用】2．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15，求证tanA＝2tanB.证明：由条件知sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝35，①sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝15，②①＋②，得sinAcosB＝25，①－②，得cosA·sinB＝15，∵A，B为锐角，∴sinAcosBcosAsinB＝2，∴tanA·1tanB＝2.∴tanA＝2tanB.求值时忽视题目的隐含条件致误已知在△ABC中，sin(A＋B)＝23，cosB＝－34，求cosA的值．【错解1】∵cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB，又sinB＝1－cos2B＝74.cos(A＋B)＝1－sin2A＋B＝53，∴cosA＝53·－34＋23·74＝27－3512.【错解2】∵cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB，又sinB＝1－cos2B＝74，cos(A＋B)＝±1－sin2A＋B＝±53，∴cosA＝±53·－34＋23·74＝27±3512.错解1和错解2都能够发现并应用变量代换的思想化A＝(A＋B)－B，使问题显得十分简明，但对三角形的三角函数值的诸多限制认识不足，导致错误结果