2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第10讲 函数的值域与最值

理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段．0011________________.2()()_______.yfxIMxIfxMxIfxMMyfxfx函数的值域是①的集合，它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的②函数的最值．设函数的定义域为，如果存在实数满足：ⅰ对于任意的，都有；ⅱ存在，使得，则称是函数的③类似地可定义．函数的值域与最值的最小值．21(?0).2(?0)0__________0__________.3(0)________.2ykxbkyaxbxcaaakykx一次函数的值域为④二次函数的值域：当时，值域为⑤；当时，值域为⑥反比例函数．基本初等函数的值域的值域为⑦4(01)________.5log(01)______.6sin()cos()_________tan()2__________.xayaaayxaayxxyxxyxxkkRRZ指数函数且的值域为⑧对数函数且的值域为⑨正、余弦函数的值域为⑩；正切函数，的值域为113()41[][24]3fxabfxab二次函数用配方法．单调性法．导数法．复合函数的值域由中间变量的范围确定．此外还有．求函数的值域最值常用的方法．若为闭区间，上的连续函数，则换元法、在，数形结合上一法、基本不等式法等．定有最大、最小值．2244[)(]44{|0}(0)1,1acbacbaayyRRR①函数值；②定义域；③最大值；④；⑤，；⑥，；⑦；⑧，；⑨【要点指南；⑩；】1.函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}【解析】当x＝0或2时，y＝0；当x＝1时，y＝－1；当x＝3时，y＝3，故选A.2.函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]【解析】函数f(x)＝11＋x2(x∈R)，所以1＋x2≥1，所以原函数的值域是(0,1]．3.(2010·山东卷)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(A)A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)4.已知函数f(x)＝x2＋2x＋2x＋1(x－1)，则当x＝0时，f(x)取最小值，且最小值为2.【解析】因为x－1，所以x＋10，所以f(x)＝x＋12＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1≥2x＋1·1x＋1＝2，当且仅当x＋1＝1x＋1，即(x＋1)2＝1，x＝0(x＝－2舍去)时，f(x)取最小值．5.已知x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，则2x＋3y2的最小值为34.【解析】因为x＋2y＝1，x≥0，y≥0，所以0≤2y≤1⇒0≤y≤12，2x＋3y2＝3y2＋2－4y＝3(y－23)2＋23，所以当y＝12时，(2x＋3y2)min＝3(12－23)2＋23＝34.易错点：忽视x、y的取值范围，错解为ymin＝23.一求函数的值域【例1】求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝2x2－4x＋1；(3)y＝x＋4x；(4)y＝x－4－x2.【解析】(1)方法1：因为y＝－1－x2＋21＋x2＝－1＋2x2＋1，而x2＋1≥1，所以02x2＋1≤2，所以－1－1＋2x2＋1≤1，所以函数y＝1－x21＋x2的值域是(－1,1]．方法2：因为y＝1－x21＋x2，所以y＋yx2＝1－x2，所以(y＋1)x2＝1－y，所以x2＝1－y1＋y≥0，所以－1y≤1，故值域为(－1,1]．(2)因为t＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3≥－3，所以2t≥2－3＝18，所以该函数的值域为[18，＋∞)．(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x0时，y＝x＋4x≥2x·4x＝4，当x＝2时取等号；当x0时，y＝x＋4x＝－(－x＋4－x)≤－4，当x＝－2时取等号，所以该函数的值域是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(4)函数的定义域为{x|－2≤x≤2}．令x＝2sinα(－π2≤α≤π2)，则y＝2sinα－2cosα＝22sin(α－π4)，且α－π4∈[－3π4，π4]，所以sin(α－π4)∈[－1，22]，所以y∈[－22，2]，所以该函数的值域是[－22，2]．【点评】1.函数的值域由定义域和对应法则一并确定，故应特别注意定义域对其值域的制约．2．求值域的常用方法有：1°观察法：一看定义域；二看函数性质；三列举．2°函数单调性法(见例2)．3°转换法．①转换为基本函数(或条件基本函数)，如y＝ax＋bcx＋d与y＝kx的关系，y＝a1x2＋b1x＋c1a2x2＋b2x＋c2与Ax2＋Bx＋C＝0.②转换为几何问题，数形结合．③转换为三角函数问题，利用三角函数的有界性．4°不等式法．5°导数法．(1)函数y＝2x＋12x－1的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)；(2)函数y＝log124－x2的值域是[－1，＋∞)；(3)函数y＝2x＋41－x的值域是(－∞，4].素材1【解析】(1)y＝2x－1＋22x－1＝1＋22x－1，该函数的定义域为{x|x≠0}，所以－12x－10或2x－10，从而22x－1－2或22x－10，所以y－1或y1，所以该函数的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)函数的定义域为(－2,2)．令t＝4－x2，则0t≤2，所以y＝log12t≥－1，故该函数的值域是[－1，＋∞)．(3)函数定义域为(－∞，1]．令1－x＝t，则x＝1－t2，且t≥0，所以y＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，所以y≤4，故该函数的值域是(－∞，4]．二求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．(1)若函数f(x)的最小值为0，求a的值；(2)若函数f(x)≥0对任意x∈R都恒成立，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的最大值．【解析】(1)因为f(x)＝(x－2a)2＋2a＋6－4a2，①且f(x)min＝0，所以2a＋6－4a2＝0，所以a＝－1或a＝32.(2)因为f(x)≥0，由①知，2a＋6－4a2≥0，解得－1≤a≤32.②所以g(a)＝2－a|a＋3|＝2－a(a＋3)＝－(a＋32)2＋174(a∈[－1，32])，所以当a＝－1时，g(a)max＝4.【点评】1.因为二次函数f(x)在R上连续，所以f(x)的最小值为0，即f(x)的值域为[0，＋∞)．2．由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已，故求值域的方法都适用于求函数的最值．(1)函数f(x)＝x3－4x2＋4x，x∈[0,3]的最小值是0；(2)函数f(x)＝cosx＋lg(1－x2)的最大值是1.素材2【解析】(1)f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)．由f′(x)＝0，得x1＝23，x2＝2，而f(23)＝827－169＋83＝3227，f(2)＝8－16＋8＝0，又f(0)＝0，f(3)＝27－36＋12＝3，所以当x＝0或2时，f(x)有最小值0.或f(x)＝x(x－2)2，x∈[0,3]，所以[f(x)]min＝0，当x＝0或x＝2时，取最小值．(2)因为f(x)的定义域是{x|－1x1}，且f(x)是偶函数，故可考虑0≤x1时的情况，此时f(x)为减函数，所以f(x)≤f(0)＝1，所以f(x)的最大值为[f(x)]max＝f(0)＝1.三函数的值域与最值的综合应用【例3】已知△ABC是边长为2的正三角形，P、Q依次是AB、AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP＝x，AQ＝t，PQ＝y，求：(1)t关于x的函数关系式，并写出函数的值域；(2)y关于x的函数关系式，并求出y的最大值和最小值．【解析】(1)因为S△ABC＝3，所以12xtsin60°＝32，所以xt＝2，t＝2x，因为t≤2，所以2x≤2，所以x≥1.又x≤2，所以1≤x≤2，所以t关于x的函数是t＝2x(1≤x≤2)，由单调性可知，其值域是[1,2]．(2)因为y2＝x2＋t2－2xtcos60°＝x2＋4x2－2，又y0，所以y＝x2＋4x2－2(1≤x≤2)．令f(t)＝t＋4t，易证f(t)在(0,2]上是减函数，[2，＋∞)上是增函数．因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以当x2＝2，即x＝2时，x2＋4x2有最小值4，此时，y取最小值2；当x2＝1或x2＝4，即x＝1或x＝2时，x2＋4x2取最大值5，此时y取最大值3.【点评】函数的值域与最值，常与不等式、方程及函数的其他性质综合．解决此类题型时要注意遵循“定义域优先”的原则，注意应用换元、配凑等技巧，从而简化问题．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，g(x)＝2lg(2x＋t)，t为参数．(1)写出函数f(x)的定义域，值域；(2)当x∈[0,1]时，g(x)有意义，求参数t的取值范围；(3)当x∈[0,1]时，若f(x)≤g(x)，求参数t的取值范围．素材3【解析】(1)由x＋10，知x－1，所以定义域为(－1，＋∞)，值域为R.(2)若x∈[0,1]，由g(x)有意义，则2x＋t0，即t－2x在[0,1]上恒成立．而(－2x)max＝0，所以t0，即t的取值范围是(0，＋∞)．(3)由f(x)≤g(x)，即lg(x＋1)≤2lg(2x＋t)，即x＋1≤2x＋t，t≥x＋1－2x，在x∈[0,1]上恒成立．令u＝x＋1－2x＝x＋1－2(x＋1)＋2＝－2(x＋1－14)2＋178.由x∈[0,1]，则x＋1∈[1，2]，所以umax＝－2(1－14)2＋178＝1，所以t≥1，即参数t的取值范围是[1，＋∞)．备选例题已知函数f(x)＝|1－1x|(x0)．(1)当0ab，且f(a)＝f(b)，求证：1a＋1b＝2；(2)是否存在实数a、b(ab)使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]；若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由．【分析】首先化简函数解析式，判断函数的单调性，利用单调性求解，注意思维的严谨性和敏捷性，要数形结合，分类讨论．【解析】(1)证明：因为f(x)＝|1－1x|＝1x－10x≤11－1xx1，故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0ab和1a－1＝1－1b，得1a＋1b＝2.(2)假设存在这样的实数a、b(ab)使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]．①当0ab≤1时，函数f(x)＝1x－1在(0,1]上是减函数，则fa＝bfb＝a，即1a－1＝b1b－1＝a，解得a＝b，与0ab≤1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a、b.②当1ab时，函数f(x)＝1－1x在(1，＋∞)上是增函数，则fa＝afb＝b，即1－1a＝a1－1b＝b，此时实数a、b为方程x2－x＋1＝0的两根，但方程x2－x＋1＝0无实根，因此不存在满足条件的实数a、b.③当0a1b时，此时显然1∈[a，b]，而f(1)＝0∉[a，b](a0)，故此时不存在满足条件的实数a、b.综合①②③可得，满足条件的实数a、b不存在．12345求函数的值域或最值的常用方法有：．配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围．．均值不等式法：利用基本不等式或均值不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件．．函数单调性法．．导数法．．数形结合法：常用于条件及要求最值的表达式有明显的几何意义．