2014届高考数学一轮复习课件：第三章第2课时同角三角函数的基本关系与诱导公式(新人教A版)

第2课时同角三角函数的基本关系与诱导公式2014高考导航考纲展示备考指南1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点.2.主要以选择题、填空题的形式考查.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1，其等价形式为：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝______________．(2)商数关系：_______________，其等价形式为：sinα＝_______________，cosα＝sinαtanα.1－sin2αsinαcosα＝tanαcosα·tanα2.角的对称相关角的终边对称性α与π＋α关于______对称α与π－α关于______对称α与－α(或2π－α)关于x轴对称α与π2－α关于直线______对称原点y轴y＝x3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα______－sinαsinα_____cosα余弦cosα－cosα_______－cosαsinα________正切tanαtanα－tanα________口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限简记口诀：奇变偶不变，符号看象限．－sinαcosαcosα－sinα－tanα课前热身1．sin(－300°)等于()A．－12B.12C．－32D.32答案：D2．若sin(π＋α)＝－12，则cosα等于()A．212B.12C．±32D.32解析：选C.由sin(π＋α)＝－12，得－sinα＝－12，即sinα＝12，∴cosα＝±1－sin2α＝±32.答案：B3．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝()A．2B．－2C．0D.234．(2011·高考重庆卷)若cosα＝－35，且α∈π，3π2，则tanα＝__________.解析：∵cosα＝－35且α∈π，3π2，∴sinα＝－45，∴tanα＝43.答案：435．sin43π·cos56π·tan－43π的值是________．答案：－334考点探究讲练互动例1考点突破考点1同角三角函数的基本关系式已知tanα＝2，求：(1)4sinα－2cosα5sinα＋3cosα的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．【解】(1)法一：∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4sinαcosα－2cosαcosα5sinαcosα＋3cosαcosα＝4tanα－25tanα＋3＝4×2－25×2＋3＝613.法二：由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4×2cosα－2cosα5×2cosα＋3cosα＝6cosα13cosα＝613.【规律小结】一个关于正弦和余弦的齐次分式，可以通过分子、分母同时除以一个余弦的方幂，将其转化为一个关于正切的分式，只要知道了正切值，就可以求出这个分式的值．(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝3sin2α＋3sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋3tanα－2tan2α＋1＝3×22＋3×2－222＋1＝165.跟踪训练1．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα＝________.解析：依题意得：tanα＋33－tanα＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：25例2考点2三角函数的诱导公式(1)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α；(2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°.【解】(1)法一：原式＝－tanα·cos[π＋π－α]·sinπ＋π2－αcosπ＋α·[－sinπ＋α]＝－tanα·[－cosπ－α]·[－sinπ2－α]－cosα·sinα＝－tanα·cosα·－cosα－cosα·sinα＝－tanα·cosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.法二：原式＝－tanα·cos－α·sin－α－π2cosπ－α·sinπ－α＝tanα·cosα·sinα＋π2－cosα·sinα＝sinαcosα·cosα－sinα＝－1.(2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1080°－150°)·cos(720°＋150°)＋tan(180°－60°)·tan(1080°－30°)＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°＝－14＋34＋1＝32.【规律小结】(1)三角函数诱导公式f(π2·k＋α)(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限，公式应用时把α“看成”锐角(α实质上是任意角)．(2)诱导公式的主要作用是转化角为可求值问题．应用公式前，注意分析角的结构特点，选择恰当公式和运算顺序．(3)诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．跟踪训练2．(1)化简：sinπ－αcos2π－αcos－α＋3π2cosπ2－αsin－π－α＝________；(2)已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π]sinα＋2nπ·cosα－2nπ(n∈Z)＝________.解析：(1)原式＝sinαcos－α[cos－α－π2]sinα[－sinπ＋α]＝sinαcosα－sinαsinαsinα＝－cosα.(2)∵cos(π＋α)＝－12，∴－cosα＝－12，cosα＝12.则sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π]sinα＋2nπ·cosα－2nπ＝sin2nπ＋π＋α＋sin－2nπ－π＋αsin2nπ＋α·cos－2nπ＋α＝sinπ＋α＋sin－π＋αsinα·cosα＝－sinα－sinπ－αsinα·cosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.答案：(1)－cosα(2)－4考点3三角形中的诱导公式(2013·杭州模拟)在△ABC中，sinA＋cosA＝2，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．例3【解】由已知可得2sinA＋π4＝2，因为0＜A＜π，所以A＝π4.由已知可得3cosA＝2cosB，把A＝π4代入，可得cosB＝32.又0＜B＜π，从而B＝π6，所以C＝π－π4－π6＝7π12.【规律小结】在△ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sinA2＋B2＝cosC2，cosA2＋B2＝sinC2.跟踪训练3．若将例3的已知条件“sinA＋cosA＝2”改为“sin(2π－A)＝－2sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．解：由条件得：－sinA＝－2sinB，即sinA＝2sinB，3cosA＝2cosB，平方相加得：sin2A＋3cos2A＝2⇒2cos2A＝1，cosA＝±22.若cosA＝－22，则cosB＝－32，A，B均为钝角不可能．故cosA＝22，cosB＝32，故A＝π4，B＝π6，C＝7π12.1．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，求值与化简的常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx进行弦、切间的互化；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；方法感悟(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·(1＋1tan2θ)＝tanπ4＝….注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k∈Z)的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定三角函数值的正负．名师讲坛精彩呈现例已知sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.数学思想方程思想在求解三角函数值中的应用【解析】法一：因为sinθ＋cosθ＝713，θ∈(0，π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝49169，所以sinθcosθ＝－60169.由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－713x－60169＝0的两根，所以x1＝1213，x2＝－513.又sinθcosθ＝－60169＜0，所以sinθ＞0，cosθ＜0.所以sinθ＝1213，cosθ＝－513.所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.法二：同法一，得sinθcosθ＝－60169，所以sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝－60169.齐次化切，得tanθtan2θ＋1＝－60169，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tanθ＝－125或tanθ＝－512.又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝713＞0，sinθcosθ＝－60169＜0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tanθ＝－125.【答案】－125【感悟提高】法一利用了方程思想，由sinθ＋cosθ、sinθcosθ的值构造一元二次方程，把sinθ与cosθ看作此方程的两根，即可求出sinθ与cosθ的值，便可求解．所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．跟踪训练4．已知θ∈(0,2π)且sinθ，cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两根，则k的值为________．解析：由根与系数的关系，得sinθ＋cosθ＝k，①sinθ·cosθ＝k＋1，②①2－②×2，得1＝k2－2k－2，∴k＝3或k＝－1.又原二次方程满足Δ≥0，∴k≥2＋22或k≤2－22，舍去k＝3，得k＝－1.答案：－1知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放