2014届高考数学一轮复习课件：第八章第5课时椭 圆(新人教A版)

第5课时椭圆2014高考导航考纲展示备考指南1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质.1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.2.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查,属中、高档题目.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的____等于常数(___________)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______．和大于|F1F2|焦点焦距思考探究在椭圆定义中常数若等于|F1F2|或小于|F1F2|，则点的轨迹如何？提示：当常数＝|F1F2|时，轨迹为线段|F1F2|；当常数|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：__________，对称中心：______坐标轴原点标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)性质顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为______短轴B1B2的长为______焦距|F1F2|＝______离心率e＝ca∈_______a，b，c的关系c2＝__________2a2b2c(0,1)a2－b2课前热身1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10答案：D答案：C2．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，则椭圆的标准方程为()A.x22＋y2＝1B．x2＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.y24＋x23＝13．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m的值是()A.23B.43C.53D.83解析：选D.由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2.∵e＝12，∴c2a2＝14，∴m－2m＝14，∴m＝83.答案：(3,4)∪(4,5)4．(2013·常州调研)若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k0k－305－k≠k－3，解得3k5且k≠4.5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点坐标是(0，－4)，则k的值为________．解析：a2＝1k，b2＝12k，则c2＝12k.又c＝4，所以k＝132.答案：132考点探究讲练互动例1考点突破考点1椭圆的定义及标准方程(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为________；(2)(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．【解析】(1)由已知a＝2c，a－c＝3，∴a＝23，c＝3.从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.【答案】(1)x212＋y29＝1或x29＋y212＝1(2)x216＋y28＝1【题后感悟】(1)在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解．(2)在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆的长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解．(3)当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴或在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.跟踪训练1．(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则椭圆的方程为________；(2)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．∵椭圆经过P1，P2两点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，∴b＝3.答案：(1)x29＋y23＝1(2)3例2考点2椭圆的几何性质(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3,0)B．(－4,0)C．(－10,0)D．(－5,0)(2)(2012·高考课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45【解析】(1)∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝b2＋c2＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．(2)由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×32a－c＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝ca＝34.【答案】(1)D(2)C【题后感悟】(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0e1等．在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．跟踪训练2．(1)(2012·高考江西卷)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右顶点分别是A，B，左，右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5－2(2)(2013·福州质量检测)直线y＝－3x与椭圆：C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.32B.3－12C.3－1D．4－23解析：(1)选B.由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝15，所以e＝55.(2)选C.设椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由y＝－3x得∠AOF2＝2π3，∠AOF1＝π3，∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋3c＝2a，∴e＝ca＝3－1.例3考点3直线与椭圆的位置关系(2012·高考安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．【解】(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－3(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c，所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理得，(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°，解得t＝85a，由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.【题后感悟】(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．跟踪训练3．(2013·河南省豫东、豫北十校联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为255，该椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点P(0，53)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，使PM→＝4PN→成立？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得，直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0(ab0)，由|－ab|a2＋b2＝255及a2－b2a＝32，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，M(0，－1)，N(0,1)，易知符合条件，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋53，代入x24＋y2＝1得(9＋36k2)x2＋120kx＋64＝0.由Δ＝14400k2－256(9＋36k2)0，解得k249.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－120k9＋36k2，①x1x2＝649＋36k2，②由PM→＝4PN→得x1＝4x2，③由①②③消去x1，x2，得169＋36k2＝24k29＋36k22，即36k29＋36k2＝1，无解．综上，存在符合条件的直线l，且其方程为x＝0.方法感悟1．求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)；若焦点在y轴上，则设方程为y2a2＋x2a2＝1(ab0)；若焦点位置不明确，可设方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝ca求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．名师讲坛精彩呈现例规范解答直线与椭圆问题的综合(本题满分12分)(2012·高考陕西卷)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1