第8讲 幂函数、指数与运算

1、理解有理数指数幂的含义；2、了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；3、了解幂函数的概念；4、结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，12yx的图象，了解它们的变化情况及基本性质；基础梳理1．方根(1)n次方根的定义如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n1，n∈N＋，式子na叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)方根的性质当n为奇数时，nan＝____；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.a2．实数指数幂分数指数幂定义给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的mn次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂表示正分数指数幂的表示：a＝______(a0，m，n∈N＋，且n1)负分数指数幂的表示：a－＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N＋，且n1)0的正分数指数幂是___,0的负分数指数幂没有意义mnnam0mnmn3．实数幂的运算性质(1)aras＝(a0，r，s∈Q)(2)aras＝(a0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝(a0,r，s∈Q)(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)ar＋sarsarbrar-s4、幂函数定义函数__________叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．y＝xα提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．说明：幂函数与指数函数有何不同？y＝xαy＝ax5、常用幂函数的图象与性质6.幂函数的图象和性质考点一：幂式的化简与求值例1、化简下列各式(其中各字母均为正数)．化简：(1)(235)0＋2－2×(214)－12－(0.01)0.5；(2)333337132aaaa考点二：幂函数的定义域图像1.下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x2，其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①④为幂函数，选B.答案：B2．函数y＝x13的图象是()ABCD解析：由y＝x13的图象过点(1,1)可排除A、D；当x＞1时，由x13＜x排除C，选B.答案：B例3．幂函数f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．解析：设f(x)＝xα，则3＝3α，∴α＝12.答案：考点三：幂函数的解析式3、已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解析：选C.∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图像过点12，22，∴12α＝22，∴α＝12，∴k＋α＝1＋12＝32.例4、已知幂函数y＝(k2－2k－2)·xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．求m和k的值；考点四：幂函数及其性质应用【解析】(1)因为函数y＝(k2－2k－2)xm2－2m－3为幂函数，所以k2－2k－2＝1，即(k－3)(k＋1)＝0，所以k＝3或k＝－1，又函数在(0，＋∞)上递减，所以m2－2m－30m∈N＋，即－1m3m∈N＋，所以m＝1或2.而函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以m＝1，此时y＝x－4.综上，得k＝－1或3，m＝1.【点评】幂函数的图象与性质由于α的值不同而较为复杂，解决与幂函数性质有关问题，关键是抓住其图象特征，将其转化为代数语言．(1)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1为奇函数，则m＝；(2)已知幂函数f(x)＝x12(m－4)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，则f(x)＝.【解析】(1)因为函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，所以m＝2或m＝－1.又f(x)是奇函数，而m＝－1时，f(x)＝x2为偶函数，当m＝2时，f(x)＝x－1，为奇函数，所以m＝2.(2)因为f(x)在(0，＋∞)上递减，所以12m－40m∈N，所以m4m∈N，所以m＝0,1,2,3.而当m＝1或2或3时，f(x)不是偶函数；当m＝0时，f(x)＝x－2,为偶函数，故m＝0时，f(x)＝x－2.1．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算．在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序．()()yxR2．幂函数是指型如＝，且为常数的函数，它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数．由于其解析式中只有一个参数幂指数，因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式．3．对幂函数的学习要求不高，只要求对几个简单幂函数的图象与性质有所了解即可．掌握幂函数的图象特点是研究幂函数性质的基础，而其主要性质就是单调性和奇偶性．