2014版高考数学一轮总复习 第56讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教A版

能充分利用几何性质判定直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练地分析求解与圆的切线和弦有关的综合问题，提升运算和推理能力．222220(0).1_________()1AxByCABxaybrd设直线的方程为，圆的方程为圆心到直线的距离①，．直线与圆的位置关系相切②圆与直线相离③几何法．相交④22202()00()0AxByCxaybrxy判别式法：由方程组得关于或的一元二次方程，则判别式⑤⑥代数法．⑦34直线与圆相离时，圆上各点到直线的距离中的最大值和最小值的求法可用线心距法．直线与圆相交时，弦长的求法可利用弦心距、半径及半弦长组成的直角三角形，运用勾股定理求解．2220022200221()_________2__()____________.2_______()(.)xyrPxyxyrPxylsrdls过圆上一点，的切线方程为⑧；过圆外一点，作圆的两条切线，则切点弦所在直线的方程为⑨圆的弦长⑩为弦圆的切线心距；圆的切线长为点到圆心及圆的的距离弦．221111222222121212300.0.CxyDxEyFCxyDxEyFDDxEEyFF公共弦所在直线的方程：圆：，圆：若两圆相交，公共弦所在直线的方程为12()1_____2______3__4___5_______.3RrRrCCddRrdRrRrdRr设两圆的半径分别为、，圆心距，则两圆的位置关系如下：外切：；内切：；内含：；外离：；相交．两个圆的：位置关系2222000022||2AaBbCdrdrABdrxxyyrxxyyrrddRrdRr①；②；③＞；④＜；⑤相交；⑥相切；⑦相离；⑧；⑨；⑩；；；＜；＞；【要点指南】＜；＜1.圆x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切C2.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上均有可能B3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.3B．2C.6D．23D4.圆x2＋y2－4x＝0在点A(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0D【解析】由已知圆心坐标为M(2,0)，kAM＝3－01－2＝－3，所以k切＝－1kAM＝33，切线方程为y－3＝33(x－1)，化简得x－3y＋2＝0，故选D.5.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程为x＋3y＝0.【解析】将两圆方程作差，即得x＋3y＝0.一直线与圆的位置关系【例1】m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．【解析】(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝5，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝|m|22＋－12＝|m|5.因为直线与圆无公共点，所以dr，即|m|55，所以m5或m－5，故当m5或m－5时，直线与圆无公共点．(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12，即5－m25＝1，得m＝±25.所以当m＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.(3)如图，由于交点处两条半径相互垂直，所以弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，所以d＝22r，即|m|5＝22·5，解得m＝±522.故当m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．【点评】(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法；(3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1·k2＝－1.已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？素材1【解析】(1)证明：配方得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，则x＝3my＝m－1，消去m得l方程为x－3y－3＝0，则不论m为何值，圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．(2)设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0(b≠－3)，则圆心到直线l1的距离为d＝3m－3m－1＋b10＝3＋b10.因为圆的半径为r＝5，所以当dr，即－510－3b510－3且b≠－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝510－3或b＝－510－3时，直线与圆相切；当dr，即b－510－3或b510－3时，直线与圆相离．二圆与圆的位置关系【例2】圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．【解析】(1)设圆O2的半径为r2.由于两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.所以圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为|r22－12|42＝4－2222＝2，解得r22＝4或r22＝20.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.【点评】判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，即解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离或内含，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；二是几何法，即通过讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系．(2010·合肥模拟)两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条素材2【解析】由题知C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，则圆心O1(－1，－1)．C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心O2(2,1)．两圆半径均为2，又|O1O2|＝2＋12＋1＋12＝134，则两圆相交⇒只有两条外公切线，故选B.三与圆有关的综合问题【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量OA→＋OB→与PQ→共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线的方程为y＝kx＋2.将它代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①因为直线与圆交于两个不同的点A、B，所以Δ＝[4(k－3)]2－4×36·(1＋k2)＝16·(－8k2－6k)0，解得－34k0，即k的取值范围为(－34，0)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)．由方程①，得x1＋x2＝－4k－31＋k2，②则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－4kk－31＋k2＋4.③而P(0,2)，Q(6,0)，则PQ→＝(6，－2)．因为OA→＋OB→与PQ→共线，所以－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)．将②③代入上式得，－2·[－4k－31＋k2]＝6k·[－4k－31＋k2]＋24，解得k＝－34.由(1)知k∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k.【点评】向量与解析几何综合，一般策略是坐标化，本题要注意向量OA→＋OB→与PQ→共线是在直线AB与圆Q相交的前提下才能成立的．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．素材3【解析】(1)如图所示，AB＝43，D是线段AB的中点，CD⊥AB，AD＝23，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，所以CD→·PD→＝0，所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【点评】在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2，则x21＋y21＝r2x22＋y22＝r2，所以k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0，该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题．备选例题(2011·盐城一模)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ→·MQ→的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【解析】(1)设圆心C(a，b)，则a－22＋b－22＋2＝0b＋2a＋2＝1，解得a＝0b＝0.则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQ→·MQ→＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2≥－4.所以PQ→·MQ→的最小值为－4，当且仅当x＝y＝－1时取到.(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．由y－1＝kx－1x2＋y2＝2，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝k2－2k－11＋k2.同理，xB＝k2＋2k－11＋k2，则kAB＝yB－yAxB－xA＝－kxB－1－kxA－1xB－xA＝2k－kxB＋xAxB－xA＝1＝kOP，所以，直线AB与OP一定平行．00000012()10.xyyykxxkxykxyk．处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解．．求过圆外一点，的圆的切线方程：几何方法：设切线方程为，即由圆心到直线的距离等于半径，可求得，切线方程即可求出．000020yykxxykxkxyxk代数方法：设切线方程为，即，代入圆的方程，得一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出．以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得．2222312.2[4]1.4ABABABrdABxxxxk