第0章 预备知识 --计算流体力学

第0章场论（FIELD）目的：场论是描述物理流动的数学工具。内容：介绍力学中常用的场论知识。场：具有物理量的空间。流场：充满流体物理量的空间。xyz物理量作为空间点位置和时间t的函数，t作为参变量。流体力学中常见的物理量density),,,(tzyxTT),,,(tzyx),,,(tzyxpp),,,(tzyxvv),,,PPtzyx（＝),,,(tzyxtemperaturepressurestressvelocitystrain向量场（函数）标量场（函数）张量场（函数）field1:1func.),,(zyxrrxyzrospacepoint),tr（＝向量(vector)：3个元素表示的既有大小又有方向的量，0.1标量、向量、张量（1）概念:标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量，kjiBB321B),(BBtr＋＋＝二阶张量（tensorof2ndorder）：9个元素表示的量。n阶张量（tensorofnthorder）：3n个元素表示的量。（2）场的几何描述向量线的微分方程：由定义点的位置矢径r=xi+yj+zk的，向量场的向量线：向量线上每一点处曲线与对应于该点的向量=axi+ayj+azk相切（c值不同对应不同等值面）标量场的等值面：时刻场中数值相同的点组成的曲面。表示标量场的分布。tt),r()(),(tctraM的微分dr=dxi+dyj+dzk方向与的方向相同，得:a0dar或图0.1.1等值面),,,(d),,,(d),,,(dtzyxaztzyxaytzyxaxzyx3c1c2cMxyzo图0.1.2向量线向量线族描述了向量在场中的分布情况。向量线连续分布，一般互不相交。(1):Einstein求和符号：式子中成对出现的哑指标。0.2向量及张量的基本运算•0.2.1向量运算符号规定aeeee332211aaaaii3332211eeeeeeejjee23322111213)(kbababakkbakjjiiee式中i,j是自由指标，ij可写作:0;1311321123223332211任意两个正交坐标轴单位向量的点积，用表示(2):Kronecker符号：)3,2,1,(01jijijiijjieeijijk中任意两个自由指标对换后，对应的分量值相差一个负号。式中i,j是自由指标，称为置换符号。(3):Ricci（置换）符号：任意两个正交单位向量的叉积kijkjieeeijkijk奇次置换，，偶次置换，，个自由指标值相同个或中有，，,,321,1231,,231,1231320kjikjikjijlimjmilklmijk置换符号ijk和符号之间有如下关系0.2.2向量运算的常用公式iiiiiiibabaeeeba)(（1）iiijjijijijjiibabababaeeeeba321321321bbbaaabababakijkjijijijjiieeeeeeeebabacbaccbacba)()()()(cbabcacba)()()())(())(()()(dacbdbcadcba（2）（3）（4）（5）0.2.3向量分量的坐标转换讨论新老坐标轴中单位向量及向量分量之间的转换关系。因a与坐标系无关iiiiaaeejijiijjiji01eeee(i，j=1,2,3)33323213133232221212313212111eeeeeeeeeeee1或)3,2,1,(,jiaajjiijijieeeezyxxzyao由此可得如下六个关系式111000233223213232222212231221211313321231113333223221312323122211211或jkikijaa向量分量之间的转换关系：)3,2,1,()()(jiaaaaaaijijijijiiijiieeee表0.1坐标轴间方向余弦1e2e3e1e1112132e2122233e313233二阶反对称张量——主对角线分量为零，只有三个独立分量。二阶对称张量——这时各元素关于主对角线对称，只有六个独立分量。是二阶张量的基，0.2.4二阶张量及其基本运算二阶张量是两个向量的并积，表示为jiijjijijjiibcacaeeeeeeacB（3,2,1,ji）333231232221131211bbbbbbbbbbijjieeijjieeeejiijbbjiijbb－)(21)(21jiijjiijijbbbbb等式右边第一项为对称张量，第二项为反对称张量。（1）二阶张量及其基本运算规则①jijijidcbaeecdab)(②)()()(abccabcbabca③)()()(bcadadcbdcbacdab④))(())(())((cabdacbddbacdabc⑤)(cbacab(2)二阶张量的坐标变换jiijjiijbbeeeeBljkiijjlikijljiijkklbbbb))(()(eeeeeeee(3,2,1,lk)jlikklljkikljlkkliijbbbb))(()(eeeeeeee(3,2,1,ji)23133322133221133123122322122221122123111322111221111112bbbbbbbbbb例如方向导数：图0.3.1方向导数M0Mcoscoscosleijk（l方向的单位向量）coscoscos)()(lim0000zyxMMMMlM0·3标量场的方向导数和梯度剃度表示物理量在一点邻域内的变化情况。梯度的定义：梯度的值为最大方向导数值，方向为最大方向导数所对应的方向图0.3.1方向导数M0Mlcoazyxlekjikji)cos(cos)(),cos(llleegradzyxkjiGiixzyxekji（Hamilton算子Nabla）其中讨论：（1）当el和G的方向一致时方向导数取得最大值，G就是函数j在给定点的梯度。（2）算子具有微分和向量双重运算性质，适用于任意正交坐标系，在不同坐标系中表达形式不同。推导或证明公式时在直角坐标系中简便。（3）梯度的两条性质①梯度▽j在某一方向el上的投影，等于标量j在该方向上的方向导数由梯度可计算物理量j沿el方向经过dl距离的增量（dl=dlel）。②梯度垂直于标量j的等值面，且指向j增大的方向。（4）梯度运算的基本公式Gllle或ddl=1cnnn或nExample0.2Given:，Prove:Solution:（书p4）Example0.1：求曲面的法线单位向量①0cc②cc)(c)(④)(⑤)()('ff（为常数）（为常数）③（5）向量的梯度▽a是一个二阶张量。图0.3.2剃度、方向导数与等值面2221yxznSolution:02122zyxFkjikjiyxzFyFxFF122yxyxFFkjinsVeVnseeVVRVsVV2)(称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中0·4向量场的通量和散度物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分S图0.4.1通量lnaSnSSSaSQddnadSaaazayaxazyxdivSV有源场和无源场：散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva0，称该点有源；若diva0，称该点有汇。|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。SV⑴aacc)(c（为常数）散度的基本运算公式：SV（2)baba)(aaa)((为标量）（3)图0.4.2散度anM图0.5.1环量面密度n旋度定义：n为曲面S的法向量，其边界线为l（可缩闭曲线），mn为向量a在点M处沿n方向的环量面密度。l与n的方向满足右手螺旋法则。直角坐标系中环量定义：在向量场a沿有向封闭曲线l的积分称为向量a沿曲线l的环量。0·5向量场的环量和旋度M物理量的旋度可用来判别场是否有旋。SllladnlsSlanad1limrot0akjikjiazyxxyxzyzaaazyxyaxazaxazaya)()()(rot反之，有势场必为无旋，即称为向量的势函数。势函数可由上式两边点乘后积分得到有旋场与无旋场的性质：无旋场具有如下两个性质：①无旋场必为有势场有旋场与无旋场：若（处处）——无旋场，否则为有旋场。0a0aaakjilzyxdddddddalllzyxlzayaxazzyyxxdddddd(与路径无关)0aa（为标量）（3）旋度运算基本公式（为常数）①aacc)(c②baba)(③()aaa0)(⑤)()()(baabba⑥0)(a④②无源无旋的向量场是调和场02222222zyxa2222222zyx02——Laplace算子——Laplace方程满足Laplace方程且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数，向量场a称为调和场。Gauss公式(JonhanGauss(1777-1855))：0·6广义Gauss公式及Stokes公式dsdVSVnaadsdVSVnSVsVddana图0.4.2散度anMS为体积V的封闭边界面，n为S的单位外法向量，若物理量a或j在V+S上一阶偏导数连续，则有高斯公式（体积分与面积分之关系)0·6广义Gauss公式及Stokes公式曲面S的单位法向量n与l的方向符合右手螺旋法则。Stokes公式联系了面积分和线积分之间的关系。Stokes公式(SirGeorgeStokes(1819-1903)：若l为曲面S的边界线，且可缩，向量a在S+l上一阶偏导数连续，则lSslanadd)(S图0.6.1lna在正交曲线坐标系中，向量坐标轴单位向量：定义：用的坐标面来表示空间位置的参考系称为曲线坐标系。如这些坐标面彼此正交，则称为正交曲线坐标系。如柱坐标、球坐标和边界层坐标系。0.7哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度和调和量——在正交曲线坐标系中的表示式0.7.1正交曲线坐标系123cccqonstqonstqonst＝