《空间向量的数乘运算》

3.1.2空间向量的数乘运算1.回顾1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa,称平面向量共线定理.1.回顾2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．回顾aOBb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.ba一、空间向量数乘运算1.实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.当时，当时，与向量方向相同；与向量方向相同；是零向量.aa00aaaa当时，0a（1）方向：（2）大小：的长度是的长度的倍.a||a2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律即：（）()()()ababaaaaa二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//问题2：平面向量中，)0(//bba.ab的充要条件是：存在唯一的实数，使能否推广到空间向量中呢？问题1：若)0(//aba则ba,所在直线有那些位置关系?)0(//bba)0(bba)0(//bba由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题共线向量定理:对空间任意两个向量，，的充要条件是存在唯一实数λ，使ab(0).abb)0(//bba性质判定)0(bba如图，l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线，若点P是直线l上任意一点，则aal//atAP对空间任意一点O,,OAOPAP所以atOAOPatOAOP即若在l上取则有ABtOAOP①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线。alABPO由知存在唯一的t,满足aAB①②因为,BBOAOA所以)A(tAOPOOBOOBtOAt)1(特别的，当t=时，21)B(21OPOOA则有ABtOAOP进一步，OBOAOP________还可表示为：OPt1-tP点为A,B的中点alABPO※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数，使BCABACkAB或（2）对空间任意点O，存在实数t,使OBtOAtOC)1(特别地，当t=1/2时，)(21OBOAOC此时，点C恰为线段AB的中点A、B、P三点共线ABtOAOPABtAP)1(APyxOByOxO练习1．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，OP→＝13OA→＋βOB→，则β＝________.32结论1:练习1:已知OE是以OAOBOC、、为棱的平行六面体OADBCFEG─的对角线,点M是ABC△的重心.求证:点M在直线OE上.OAMGEFCBDO分析:证三点共线可尝试用向量来分析.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．例2【思路点拨】要证E，F，B三点共线，只需证EB→＝mEF→(m∈R)即可．【证明】设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.∵A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，∴A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→.∴A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25(a－23b－c)．又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→.所以E，F，B三点共线．三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abbyxpab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCp2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，byxpabpab则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y使abABPp推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使ACyABxAPCOOCOBOAOP(____)(____)(_____)abABPp对空间任一点O,有填空：1-x-yxyACyABxOAOPC③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.③由此可判断空间任意四点共面P与A,B,C共面ACyABxAPACyABxOAOP(1)OPxOAyOBzOCxyz课外补充练习:1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DC•1．下列命题中正确的个数是()•①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．•②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面．•③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.•A．1B．2C．3D．0•解析：①中若b＝0，则a与c不一定共线．②中共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面．③中若b＝0，a≠0，则不存在λ.•答案：D练习2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.OM→＝3OA→－2OB→－OC→B．OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0C．MA→＋MB→＋MC→＝0D．OM→＝14OB→－OA→＋12OC→解析：C中MA→＝－MB→－MC→.故M、A、B、C四点共面．C练习1．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.152解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得ACyABxAP四点共面。从而共面且有公共点，，不共线，所以，又所以所以即共面，因为PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,,,3131,33)()(332)1(OAOPOCOB3)1(例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？OCOBOAOP4)2(利用共面向量的推论是证明四点共面的依据．证明四点共面已知非零向量e1、e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，AC→＝2e1＋8e2，AD→＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．例2【思路点拨】要证明AB→、AC→、AD→共面，即只要证明存在三个非零实数λ、μ、v，使λAB→＋μAC→＋vAD→＝0即可．【证明】令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴λ＋2μ＋3v＝0，λ＋8μ－3v＝0，易知λ＝－5μ＝1，v＝1是其中一组解，则－5AB→＋AC→＋AD→＝0，∴A、B、C、D共面．另证：观察易得AC→＋AD→＝(2e1＋8e2)＋3(e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB→，∴AB→＝15AC→＋15AD→.由共面向量知，AB→、AC→、AD→共面．又它们有公共点A，∴A、B、C、D四点共面．例1如图，在空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，求证：BMNADC共面。、与CDABMN证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．向量共面问题如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B→、B1C→、EF→是共面向量．例3【证明】法一：EF→＝EB→＋BA1→＋A1F→＝12B1B→－A1B→＋12A1D1→＝12(B1B→＋BC→)－A1B→＝12B1C→－A1B→.由向量共面的充要条件知，A1B→、B1C→、EF→是共面向量．【思路点拨】利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明．法二：连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，则有FG//12DD1，BE//12DD1，∴FG//BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴A1B→、B1C→、EF→都与平面A1BD平行．∴A1B→、B1C→、EF→共面．(例2)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共线，或直线平行于平面)0(//ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP