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3．1任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲点击1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.说基础课前预习读教材考点梳理一、任意角1．角的分类任意角可按旋转方向分为①______、②______、③______.①正角②负角③零角2．象限角第一象限角的集合④__________________________________第二象限角的集合⑤__________________________________第三象限角的集合⑥__________________________________第四象限角的集合⑦__________________________________{α|2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z}{α|2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z}{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z}{α|2kπ＋3π2＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}3.角的度量(1)角的度量制有：⑧______制，⑨______制．(2)换算关系：1°＝⑩______rad,1rad＝⑪______.⑧角度⑨弧度⑩π180⑪180π°二、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义⑫____叫做α的正弦，记作sinα⑬____叫做α的余弦，记作cosα⑭____叫做α的正切，记作tanα⑫y⑬x⑭yxⅠ⑮______⑯______⑰______Ⅱ⑱______⑲______⑳______Ⅲ○21______○22______○23______Ⅳ○24______○25______○26______各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦⑮正⑯正⑰正⑱正⑲负⑳负○21负○22负○23正○24负○25正○26负三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段○27____为正弦线有向线段○28____为余弦线有向线段○29____为正切线○27MP○28OM○29AT考点自测1.设集合A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于()A．{小于90°的角}B．{0°～90°的角}C．{第一象限的角}D．以上都不对解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成，又0°～90°的角为θ|0°≤θ＜90°，故上述A、B、C项都不对．答案：D2．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是()A.π3B.π6C．－π3D．－π6解析：将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转，∴C、D不正确．又∵拨慢10分，∴转过的角度应为圆周的212＝16，即为16×2π＝π3.答案：A3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4，或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.答案：C4．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于()A．sin2B．－sin2C．cos2D．－cos2解析：∵角α终边上一点P(2sin2，－2cos2)，∴x＝2sin2，y＝－2cos2，r＝x2＋y2＝4sin22＋4cos22＝2，∴sinα＝yr＝－2cos22＝－cos2.答案：D5．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4答案：C说考点拓展延伸串知识疑点清源1.对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}．3．三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.题型探究题型一角的集合表示例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．解析：(1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(2)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ3＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜187(k∈Z)．∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21.点评：①利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍，然后判断角α所在的象限．②利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．变式探究1(1)若角α的终边和函数y＝－|x|的图象重合，试写出角的集合；(2)若θ角的终边与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．解析：(1)由于y＝－|x|的图象是三、四象限的角平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋225°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}．(2)θ＝k·360°＋168°，k∈Z，θ3＝k·120°＋56°，k∈Z.依题意得0≤k·120°＋56°＜360°，当k＝0,1,2时，k·120°＋56°在[0°，360°)内，所以θ3＝56°，176°，296°.题型二弧长与扇形面积例2(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析：(1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r＋rθ.依题意，得2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)×180π°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，∴扇形的面积为S＝12r2θ＝12(π－2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)①扇形的面积S＝12lr，将①代入，得S＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．点评：弧长和扇形的核心公式是圆周长公式C＝(2π)r和圆面积公式S＝12(2π)r2.当用圆心角的弧度数α代换2π时，即可得到一般弧长和扇形面积公式．变式探究2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交AB于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，从而弧AB的长为l＝|α|·R＝2sin1.故选C.答案：C题型三已知角α所在象限，判断αn所在象限的问题例3若α是第二象限的角，试分别确定α2，α3的终边所在位置．解析：(1)∵k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋45°＜α2＜n·360°＋90°；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋225°＜α2＜n·360°＋270°.∴α2是第一或第三象限的角．(2)∵k·120°＋30°＜α3＜k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋30°＜α3＜n·360°＋60°；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°＜α3＜n·360°＋180°；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°＜α3＜n·360°＋300°.∴α3是第一或第二或第四象限的角．点评：(1)若由90°＜α＜180°，得45°＜α2＜90°，得α2是第一象限角，则混淆了象限角与区间角的概念，犯了以偏概全的错误．(2)已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限：α第一象限第二象限第三象限第四象限α2第一或第三象限第二或第四象限区域变式探究3已知α是第三象限角，问α3是哪个象限的角？解析：方法一：∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，60°＋k·120°＜α3＜90°＋k·120°.①当k＝3m(m∈Z)时，可得60°＋m·360°＜α3＜90°＋m·360°(m∈Z)．故α3的终边在第一象限；②当k＝3m＋1(m∈Z)时，可得180°＋m·360°＜α3＜210°＋m·360°(m∈Z)．故α3的终边在第三象限．③当k＝3m＋2(m∈Z)时，可得300°＋m·360°＜α3＜330°＋m·360°(m∈Z)．故α3的终边在第四象限．综上可知，α3是第一或第三或第四象限的角．方法二：将坐标系每象限三等分，再自x轴正向逆时针依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(如图所示).α3所在区域如图中阴影部分(标有Ⅲ的部分)．故α3在第一或第三或第四象限.题型四三角函数的定义例4已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解析：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t＞0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；t＜0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.点评：某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解．变式探究4(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解析：(1)∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－3.故r＝22，sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－1x，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，co