2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料第五章数列1.5.1

5．1数列的概念与简单表示考纲点击1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．说基础课前预习读教材考点梳理1.数列的定义数列是①_________________的一列数，从函数观点看，数列是定义域为②____________________________的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数时所对的③__________.按一定次序排成正整数集(或它的有限子集)一列函数值2．数列的通项公式一个数列{an}的第n项an与④______之间的函数关系，如果可以用一个公式⑤__________来表示，我们把这个公式⑥__________叫做这个数列的通项公式．项数an＝f(n)an＝f(n)3．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数⑦______按项数分类无穷数列项数⑧______递增数列an＋1⑨____an递减数列an＋1⑩____an按项与项间的大小关系分类常数列an＋1＝an其中n∈N*有限无限＞＜4.数列的表示方法数列的表示方法有⑪__________、⑫__________、⑬__________.5．已知Sn，则an＝⑭n＝1，⑮n≥2.数列{an}中，若an最大，则an≥⑯，an≥⑰.若an最小，则an≤⑱，an≤⑲.列举法公式法图象法S1Sn－Sn－1an－1an＋1an－1an＋1考点自测1.下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列n＋1n的第k项为1＋1kD．数列0,2,4,6，…可记为{2n}解析：根据数列的定义与集合定义的不同可知A，B不正确，D项{2n}中的n∈N*，故不正确，C中an＝n＋1n，∴ak＝1＋1k.答案：C2．数列2、5、22、…，则25是该数列的()A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项解析：原数列可写成2、5、8，…，∵25＝20，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.答案：B3．已知数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－1an＋1(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值是()A．14B．15C．16D．17解析：a1＝b，a2＝－1b＋1，a3＝－b＋1b，a4＝b，∴此数列的周期为3，故选C.答案：C4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列解析：∵an＋1－an＝2n＋13n＋1＋1－2n3n＋1＝2[3n＋1＋1]3n＋1＞0，∴an＋1＞an，数列{an}为递增数列．答案：A5．已知数列n2n2＋1，则0.98是它的第__________项．解析：n2n2＋1＝0.98＝4950，∴n＝7.答案：7说考点拓展延伸串知识疑点清源1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．(3)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*).题型探究题型一由数列的前n项求数列的通项例1写出下面数列的一个通项公式．(1)212，414，618，8116，…；(2)10,11,10,11,10,11，…；(3)－1，85，－157，249，….解析：(1)这是个混合数列，可看成2＋12，4＋14，6＋18，8＋116，….故通项公式an＝2n＋12n.(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….故其一个通项为an＝10＋1＋－1n2.(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－33，则分母为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2)，所以原数列通项为an＝(－1)nn2＋2n2n＋1.点评：仅给出函数的前n项，其通项公式并非唯一，如(2)中通项公式可为an＝10＋|sinn－1π2|，但是，若给出数列通项公式，则数列被唯一确定．变式探究1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)23，－1，107，－179，2611，－3713，…；(5)3,33,333,3333，….解析：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，由第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12·2＋1，所以an＝(－1)n＋1·n2＋12n＋1.(5)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1).题型二由an与Sn的关系求an例2已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解析：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.)点评：已知{an}的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：①应重视分类讨论的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意用an＝Sn－Sn－1时需n≥2.②由Sn－Sn－1＝an推得的an，若当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．③由Sn－Sn－1＝an推得的an，若当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.)变式探究2已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项an.(1)Sn＝2n2－3n＋k；(2)Sn＝an＋124(an＞0)．解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋k－2(n－1)2＋3(n－1)－k＝4n－5；当n＝1时，a1＝S1＝－1＋k；当k＝0时，a1＝－1适合an＝4n－5，∴an＝4n－5；当k≠0时，a1＝－1＋k不适合an＝4n－5，∴an＝－1＋kn＝1，4n－5n≥2.(2)方法一：∵Sn＝an＋124，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝14[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∵an＞0，∴an＋1－an＝2.又a1＝1，故{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝2n－1.方法二：∵an＋12＝Sn，∴S1＝a1＝1.当n≥2时，2Sn＝Sn－Sn－1＋1，即(Sn－Sn－1－1)(Sn＋Sn－1－1)＝0，∵an＞0，S1＝1，∴Sn－Sn－1＝1(n≥2)，∴Sn＝n，从而an＝2Sn－1＝2n－1.又a1＝1适合an＝2n－1.∴an＝2n－1.题型三由递推公式求an例3根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.解析：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.点评：①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．变式探究3已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N*，n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11000？解析：(1)an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝12n－1·12n－2·…·122·121＝121＋2＋…＋(n－1)＝1212nn，∴an＝1212nn.(2)当n≤4时，n－1n2≤6，an＝1212nn≥164，当n≥5时，n－1n2≥10，an＝1212nn≤11024.∴从第5项开始各项均小于11000.归纳总结•方法与技巧1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调an与Sn的关系：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.)3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐项累加或累乘法．•失误与防范1．数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.新题速递1.(2013·铜陵月考)在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有