第二章方程与不等式_第6课一次方程与方程组

第二章方程与不等式第6课一次方程与方程组1．定义：(1)含有未知数的叫做方程；(2)只含有未知数，且未知数的次数是，这样的整式方程叫做一元一次方程；(3)将两个或两个以上的方程合在一起，就构成了一个方程组．总共含有，且未知数的次数是，这样的方程组叫做二元一次方程组．要点梳理等式一个一次两个未知数一次2．方程的解：能够使方程左右两边的值未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．3．解法：(1)解一元一次方程主要有以下步骤：；；；；未知数的系数化为1.(2)解二元一次方程组的基本思想是，有与．即把多元方程通过、、换元等方法转化为一元方程来解．相等的去分母去括号移项合并同类项消元代入消元法加减消元法加减代入[难点正本疑点清源]1．正确掌握一元一次方程的概念以及解方程的格式与步骤理解一元一次方程的概念，必须注意以下三点：(1)方程中只含有一个未知数；(2)未知数的指数是1；(3)是整式方程．应注意解方程的书写格式，不要把方程的变形写成连等式，一般是一个方程写一行，每个方程只能写一个等号．不能把它与代数式运算相混淆．解一元一次方程，常按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行．根据所解方程的特点，采用所需要的步骤，有分母的则去分母，有括号的则去括号，根据需要灵活安排求解步骤，熟练后还可以合并或简化某些步骤．2．灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组解二元一次方程组，目标是求出方程组中两个二元一次方程的公共解，这时两个方程中同一个未知数应取相同的值，实现这一目标的基本思想是“消元”，这就需要正确地运用“代入法”和“加减法”．解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择．当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法较简便．加减消元应选择方程组中同一未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．基础自测1．(2011·邵阳)请写出一个解为x＝2的一元一次方程：________.答案：x＝2，x－2＝0,2x－3＝1…，答案不唯一．2．(2011·益阳)二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是()A.B.C.D.解析：当时，左边=x－2y＝1－2×1＝－1≠右边．Bx＝0，y＝－12x＝1，y＝1x＝1，y＝0x＝－1，y＝－1x＝1，y＝13．(2011·江津)已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是()A．－5B．5C．7D．2解析：∵x＝3是方程的解，∴2×3－a＝1，a＝5.B4．(2011·肇庆)方程组的解是()A.B.C.D.解析：当时，x－y＝2－0＝2,2x＋y＝2×2＋0＝4，可知是方程组的公共解．x－y＝2，2x＋y＝4x＝1，y＝2x＝3，y＝1x＝0，y＝－2x＝2，y＝0Dx＝2，y＝05．(2011·枣庄)已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为()A．－1B．1C．2D．3解析：把代入方程组得解之得所以a－b＝2－3＝－1.x＝2，y＝1ax＋by＝7，ax－by＝1Ax＝2，y＝12a＋b＝7，2a－b＝1，a＝2，b＝3，题型一一元一次方程的解法【例1】解下列方程：(1)x－＝；解：5x－8＝7,5x＝8＋7,5x＝15，∴x＝3.(2)x－＝2－；解：6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，6x－3x＋3＝12－2x－4,3x＋3＝8－2x，3x＋2x＝8－3,5x＝5，∴x＝1.题型分类深度剖析1245710x－12x＋23(3)7x－[x－(x－1)]＝(x－1)解：7x－＝(x－1)，7x－x－＝x－，去分母，得84x－3x－3＝8x－8，84x－3x－8x＝－8＋3,73x＝－5，∴x＝－.12122312x＋12122314142323573(4)3[2x－1－3(2x－1)]＝5.解：设y＝2x－1，∴3(y－3y)＝5，－6y＝5，y＝－，即(2x－1)＝－，x＝.5656112探究提高1.去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号.2.去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(尤其是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号.3.解方程后要代回去检验是否解正确.4.当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便，这是整体思想的重要体现．知能迁移1(1)3－x＝1；解：－x＝－3，－x＝－，∴x＝.(2)＝；解：4(2x－1)＝3(5x＋1)，8x－4＝15x＋3，8x－15x＝3＋4，－7x＝7，∴x＝－1.(3)＝＋1.解：3(x＋2)＝2(2x－3)＋12，3x－4x＝－6＋12－6，－x＝0，∴x＝0.57355785577549252x－165x＋18x＋242x－36题型二二元一次方程组的解法【例2】解下列方程组：(1)解：①＋②，得4x＝12，x＝3；①－②，得－2y＝2，y＝－1，∴2x－y＝7，2x＋y＝5.2x－y＝7，①2x＋y＝5，②x＝3，y＝－1.(2)解：设x＋y＝a，x－y＝b，则解之，得即∴x＋y2＋x－y3＝6，4x＋y－5x－y＝2.12a＋13b＝6，4a－5b＝2，a＝8，b＝6.x＋y＝8，x－y＝6，x＝7，y＝1.探究提高1.解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便.2.加减消元法选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．知能迁移2解方程组：(1)(2010·丽水)解：解法一：①＋②，得5x＝10.∴x＝2.把x＝2代入①，得4－y＝3.∴y＝1.∴方程组的解是解法二：由①，得y＝2x－3.③把③代入②，得3x＋2x－3＝7.∴x＝2.把x＝2代入③，得y＝1.∴方程组的解是2x－y＝3，①3x＋y＝7.②x＝2，y＝1.x＝2，y＝1.(2)解：把①代入②，得x＋2×1＝5，x＝3，∴x＝4，把x＝4代入①，得(4＋y)＝1,4＋y＝，y＝－4＝－，∴718x＋y＝1，①34x＋79x＋y＝5.②3434718718187107x＝4，y＝－107.(3)1－6x＝＝.解：1－6x＝＝，∴化简得∴3y－x2x＋2y33y－x2x＋2y31－6x＝3y－x2，①3y－x2＝x＋2y3，②11x＋3y＝2，x＝y，x＝17，y＝17.题型三已知方程(组)解的特征，求待定系数【例3】(1)若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值是()A．－B.C.D．－解析：解方程组得根据方程解的定义，将该解代入方程2x＋3y＝6，得14k－6k＝6,8k＝6，k＝，应选B.x＋y＝5k，x－y＝9k34344343Bx＋y＝5k，x－y＝9kx＝7k，y＝－2k，(2)已知方程组与的解相同，求a、b的值．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：由题意得解之得[2分]把代入得[4分]整理得解之得[6分]2x－3y＝3，ax＋by＝13x＋2y＝11，2ax＋3by＝3x＝3，y＝1.2x－3y＝3，3x＋2y＝11，x＝3，y＝1.ax＋by＝－1，2ax＋3by＝3，3a＋b＝－1，6a＋3b＝3，3a＋b＝－1，2a＋b＝1，a＝－2，b＝5.探究提高1.先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一次方程.2.几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程(或方程组)即可．知能迁移3(1)已知方程组的解x、y的和为12，求n的值；解：解方程组得又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14.2x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2，2x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2，x＝2n－6，y＝－n＋4.(2)当m取什么值时，方程x＋2y＝2,2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解；解：∵∴代入mx－y＝0，得4m＋1＝0，m＝－.x＋2y＝2，2x＋y＝7，x＝4，y＝－1.14(3)已知关于x、y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解：解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1，取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3，∴解法二：整理，得(x＋y－2)a＝x－2y－5，∴解得x＝3，y＝－1.x＋y－2＝0，x－2y－5＝0，x＝3，y＝－1.题型四方程中看错系数【例4】孔明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为又已知直线y＝kx＋b过点(3,1)，则b的正确值应该是______．解析：由题意得2＝－k＋6，k＝4，又1＝3k＋b，b＝1－3k＝1－12＝－11.y＝kx＋b，y＝－2xx＝－1，y＝2，－11探究提高看错方程组中哪个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组，然后解方程组．知能迁移4已知方程组甲看错了方程①中的a，得到方程组的解乙看错了方程②中的b，得到方程组的解若按正确的a、b计算，则原方程组的解x与y的差是多少？解：由题意得4×(－3)＋b×1＝－2，b＝10.5a＋5×4＝15，a＝－1.∴解之，得∴x－y＝－－＝－.ax＋5y＝15，①4x＋by＝－2，②x＝－3，y＝1，x＝5，y＝4，－x＋5y＝15，4x＋10y＝－2.x＝－163，y＝2915.163291510915易错警示4.注意二元一次方程的解的意义方程组的解，对方程2x－3y＝－5()A．是这个方程的唯一解B．是这个方程的一个解C．不是这个方程的一个解D．以上结论都不对3x－7y＝0，x－2y＋1＝0学生答案展示解方程组由②得x＝2y－1,③把③代入①得，3(2y－1)－7y＝0，y＝－3.把y＝－3代入③得x＝－7.∴是方程组的解．当x＝－7，y＝－3时，方程2x－3y＝－5成立．故是方程2x－3y＝－5的唯一解，选A.3x－7y＝0，①x－2y＋1＝0，②x＝－7，y＝－3x＝－7，y＝－3剖析本题上述解法中基本思路是正确的，但在下结论时忽略了二元一次方程的解有无数个这一重要性质．正解由上述解法可知是方程2x－3y＝－5的一个解，选B.批阅笔记二元一次方程的解与二元一次方程组的解是不同的概念，前者一般有无数个，后者一般只有唯一一个，不能混为一谈．另外，在