92层次分析法

数学建模层次分析法(AHP法)(AnalyticHierarchyProcess)建模应用实例基本步骤模型背景一、模型背景美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70年代初提出的一种层次权重决策分析方法。层次分析法(AnalyticHierarchyProcess简称AHP)是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。特点：用较少的定量信息使决策的思维过程数学化。1.模型及其层次构造准则目标方案二、基本步骤例如，旅游地选择问题，其层次结构如图所示目标层A准则层C方案层PC5交通选择旅游地C2费用P1苏杭P2北戴河P3桂林C3居住C4饮食C1景色2.判断矩阵及其标度判断矩阵表示相对上一层次某一因素而言，本层次各因素(或准则)之间的两两相对重要性程度。设C层第k个因素Ck与下一层次A中元素A1,A2,…,An有关,则我们构造如下判断矩阵：CkA1A2…AnA1a11a12…a1nA2a21a22…a2n……………Anan1an2…ann标度含义1表示两个因素相比，具有同等重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个极端重要2、4、6、8表示上述两相邻判断的中间值倒数相应两次序交换比较的重要性ijjiijnnijaaaaA1,0,)(ijjiaCC:11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311AC1C2C3C4C5C1C2C3C4C5C2C1C3C4C5A~成对比较阵A是正互反阵71242/11A成对比较的不一致情况21212(:)aCC):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围nnnnnn212221212111考察完全一致的情况n,,)1(21jiijwwa/令可作为一个排序向量成对比较nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵。•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，Saaty等人建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质Awnw但允许范围是多大？如何界定？wAw3.层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为w。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n。定理：n阶正互反阵A的最大特征根n,当且仅当=n时A为一致阵。由于λ连续的依赖于aij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度。1nnCI定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI。方法为随机一致性指标RI50021,,,AAA50021,,,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标随机构造500个成对比较矩阵1.0RICICRA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对aij加以调整。时，认为定义一致性比率：RICICR“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验4.层次总排序及其一致性检验计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。Z1A2AmA1B2BnB,,,,21mAAAmA个因素层对总目标Z的排序为maaa,,,21jAAnB中因素为个因素对上层层其层次单排序为),,2,1(,,,21mjbbbnjjjA1A2…Am层次A层次Ba1a2…amB层次总排序权值B1B2...Bnb11b12…b1mb21b22…b2m.........bn1bn2…bnmajb1jajb2j...ajbnj11/mmjjjjjjCRaCIaRI一致性检验nmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:::即B层第i个因素对总目标的权值为：（影响加和）mjijjba1B层的层次总排序为：层次A层次BA1A2…AmB层次总排序权值a1a2…amB1B2...Bnb11b12…b1mb21b22…b2m.........bn1bn2…bnmajb1jajb2j...ajbnj层次总排序的一致性检验mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111.0CR当时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1=3.0052=3.002…5=3.0权向量w1(3)w2(3)…w5(3)=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地第3层对第2层的计算结果w(2))3(kwkkCI0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验1.0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率绩效考核C2专业技能员工P1员工P2员工P3C3知识层次C4业务水平例如，员工绩效考核问题三、应用实例目标层A准则层C方案层PC1道德品质C5客户评价根据实际情况，构造判断矩阵如下：AC1C2C3C4C5C111/2433C221755C31/41/711/21/3C41/31/5211C51/31/5311C1P1P2P3P1125P21/212P3111C2P1P2P3P111/31/8P2311/3P3831C3P1P2P3P1113P2113P31/31/31C4P1P2P3P1134P21/311P31/411C5P1P2P3P1111/4P2111/4P3441其次，层次单排序及其一致性检验判断矩阵A-C：由结果知，A通过一致性检验。00005.0730.2630.4750.0550.0990.1100.0181.120.0160.10maxTWCIRICR对判断矩阵C1,C2,C3,C4,C5进行层次单排序及其一致性检验，结果如下：k12345Wk10.5950.0820.4290.6330.166Wk20.2270.2360.4290.1930.166Wk30.1250.6820.1420.1750.668ƛk3.0053.00233.0093CIk0.0030.00100.0050RIk0.5800.5800.5800.5800.580最后，层次总排序以及一致性检验5015010.0870.58/0.087/0.580.0150.1iiiiiiCICIRIRICRCIRI层次CC1C2C3C4C5层次P的总排序层次P0.2630.4750.0550.0990.118P10.5950.0820.4290.6330.1660.3P20.2270.2360.4290.1930.1660.246P30.1250.6820.1420.1750.6680.456层次分析法的优点系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；实用性——定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性；简洁性——计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限囿旧——只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；粗略——该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。；主观——从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应用2002年全国大学生数学建模竞赛B题：已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的算法。一、问题的提出已给的29种方案分为两种类型1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从0-9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0-4中选一个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级；表1：“传统型