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第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点1.2不等关系及简单不等式的解法第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-2-知识梳理双基自测234151.两个实数比较大小的方法(1)作差法𝑎-𝑏0⇔𝑎𝑏,𝑎-𝑏=0⇔𝑎𝑏,𝑎-𝑏0⇔𝑎𝑏.(2)作商法𝑎𝑏1⇔𝑎𝑏(𝑎∈R,𝑏0),𝑎𝑏=1⇔𝑎𝑏(𝑎∈R,𝑏0),𝑎𝑏1⇔𝑎𝑏(𝑎∈R,𝑏0).==第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-3-知识梳理双基自测234152.不等式的性质(1)对称性:ab⇔ba.(2)传递性:ab,bc⇒.(3)可加性:ab⇔a+cb+c;ab,cd⇒a+cb+d.(4)可乘性:ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc;ab0,cd0⇒acbd.(5)可乘方:ab0⇒anbn(n∈N,n≥1).(6)可开方:ab0⇒𝑎𝑛𝑏𝑛(n∈N,n≥2).ac第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-4-知识梳理双基自测234153.不等式的常用性质(1)倒数的性质①ab,ab0⇒1𝑎1𝑏.②a0b⇒1𝑎1𝑏.③ab0,0cd⇒𝑎𝑐𝑏𝑑.④0axb或axb0⇒1𝑏1𝑥1𝑎.(2)有关分数的性质若ab0,m0,则①𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎+𝑚;𝑏𝑎𝑏-𝑚𝑎-𝑚(b-m0).②𝑎𝑏𝑎+𝑚𝑏+𝑚;𝑎𝑏𝑎-𝑚𝑏-𝑚(b-m0).第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-5-知识梳理双基自测234154.三个“二次”之间的关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x1x2)有两个相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集xx≠-b2aRax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x1xx2}⌀⌀第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-6-知识梳理双基自测234155.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式的解法不等式解集aba=bab(x-a)·(x-b)0{x|xa或xb}(x-a)·(x-b)0{x|bxa}{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}⌀第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)ab⇔ac2bc2.()(3)若不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(5)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(4)不等式𝑥-2𝑥+1≤0的解集是[-1,2].()(2)ab0,cd0⇒𝑎𝑑𝑏𝑐.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.若ab0,cd0,则一定有()A.𝑎𝑐𝑏𝑑B.𝑎𝑐𝑏𝑑C.𝑎𝑑𝑏𝑐D.𝑎𝑑𝑏𝑐答案解析解析关闭因为cd0,所以01𝑐1𝑑,两边同乘-1,得-1𝑑-1𝑐0.又ab0,故由不等式的性质可知-𝑎𝑑-𝑏𝑐0,两边同乘-1,得𝑎𝑑𝑏𝑐.故选D.答案解析关闭D第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.已知a0,b0,且a≠1,b≠1.若logab1,则()A.(a-1)(b-1)0B.(a-1)(a-b)0C.(b-1)(b-a)0D.(b-1)(b-a)0答案解析解析关闭解析当0a1时,由logab1得ba.∵a1,∴ba1,∴b-a0,b-10,a-10.∴(a-1)(b-1)0,(a-1)(a-b)0,(b-a)(b-1)0.∴排除选项A,B,C,选D答案解析关闭D第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.(2016山西晋中榆社中学四模)已知全集为R,集合A.{x|0≤x2或x4}B.{x|0x≤2或x≥4}C.{x|0≤x2}D.{x|2≤x≤4}A=𝑥12𝑥≤1,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩(∁RB)=()答案解析解析关闭∵12𝑥≤1,∴x≥0.∴A={x|x≥0}.∵x2-6x+8≤0,即(x-2)(x-4)≤0.∴2≤x≤4.∴B={x|2≤x≤4}.∴∁RB={x|x2或x4}.∴A∩(∁RB)={x|0≤x2或x4},故选A.答案解析关闭A第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.(2016江苏,5)函数y=3-2𝑥-𝑥2的定义域是.答案解析解析关闭要使函数有意义,必须3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.故函数y=3-2𝑥-𝑥2的定义域是[-3,1].答案解析关闭[-3,1]第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-12-考点1考点2考点3考点4考点1比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.M=ND.不确定A.abcB.cbaC.cabD.bac思考比较两个数(式)的大小常用的方法有哪些?(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()答案答案关闭(1)B(2)B第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-10,a2-10.∴(a1-1)(a2-1)0,即M-N0.∴MN.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.由𝑏𝑎=3ln44ln3=log81641,可知ab;由𝑏𝑐=5ln44ln5=log62510241,可知bc.故cba.(方法二)令f(x)=ln𝑥𝑥,可得f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.易知当xe时,f'(x)0,即f(x)单调递减.因为e345,所以f(3)f(4)f(5),即cba.第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-14-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有:作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.答案答案关闭(1)A(2)abba第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.∴b=a2+1.∴b-a=a2-a+1=𝑎-122+340,∴ba.∴c≥ba.(2)令f(x)=ln𝑥𝑥,则f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.当xe时,f'(x)0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为eab,所以f(a)f(b),即ln𝑎𝑎ln𝑏𝑏.所以blnaalnb.所以abba.第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-17-考点1考点2考点3考点4考点2不等式的性质及应用例2(1)如果a∈R,且a2+a0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2a-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a(2)设a,b为正实数.现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|1.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)思考判断多个不等式是否成立的常用方法有哪些?②若1𝑏−1𝑎=1,则a-b1;③若|𝑎−𝑏|=1,则|a-b|1;答案答案关闭(1)D(2)①④第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-18-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1a0.由不等式的性质可知-aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.(2)在①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b为正实数,若a-b≥1,则必有a+b1.这与(a+b)(a-b)=1矛盾,故a-b1,故①正确.在②中,1𝑏−1𝑎=𝑎-𝑏𝑎𝑏=1,只需a-b=ab即可.如取a=2,b=23满足上式,但a-b=431,故②错误.第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-19-考点1考点2考点3考点4在③中,因为a,b为正实数,所以𝑎+𝑏|𝑎−𝑏|=1,且|a-b|=|(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)|=|𝑎+𝑏|1,故③错误.在④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1.若|a-b|≥1,且a,b为正实数,则必有a2+ab+b21,这与|a-b|(a2+ab+b2)=1矛盾,故|a-b|1,故④正确.第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-20-考点1考点2考点3考点4解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理核心考点核心考点-21-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)已知a0,-1b0,则下列不等式成立的是()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a(2)已知a,b,c∈R,则下列命题中正确的是()A.若ab,则ac2bc2B.若𝑎𝑐𝑏𝑐,则abC.若a3b3,且ab0,则1𝑎1𝑏D.若a2b2,且ab0,则1𝑎1𝑏答案解析解析关闭(1)由-1b0可得bb21,又a0,所以abab2a.(2)当c=0时,可知A不正确;当c0时,可知B不正确;由a3b3,且ab0,知a0,且b0,所以1𝑎1𝑏成立,C正确;当a0,且b0时,可知D不正确.答案解析关闭(1)D(2)C第一章1.2不等关系及简单不等式的解法知识