化工问题的建模与数学分析方法2(35P)

化工问题的建模与数学分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering第二章常微分方程1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析第二章常微分方程——二阶常系数方程一、二阶常系数方程的解法1。齐次方程通解设得)(2122xfyadxdyadxydxAey0212aa第二章常微分方程——二阶常系数方程相异实根共轭复根重根2。非其次方程特解：比较系数法xxececy2121)sincos(21xcxceyx)(211xcceyx第二章常微分方程——二阶变系数方程二、二阶变系数方程的解法1、级数解法广义幂级数代入方程，比较系数法确定参数c和an0)()(222yxGdxdyxxFdxydx0ncnnxay第二章常微分方程——二阶变系数方程设代入，得2210)(xFxFFxF2210)(xGxGGxGcnnncnnnxcnaxFxFFxcncna)()()1)((0221000)(02210cnnnxaxGxGG第二章常微分方程——二阶变系数方程首项xc的系数为0——指标方程第n项xn+c的系数为0——递推公式0)1(002GcFcnaGcnFcn002))(1()(111)1(naGcnF222)2(naGcnF00aGcFnn第二章常微分方程——二阶变系数方程由指标方程的第一根c=c1可以得到方程的第一个解当c1－c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。当c1、c2为重根时，第二解为当c1－c2为整数时，第二解为12cccyy222ccycccy第二章常微分方程——二阶变系数方程2。Bessel方程及其级数解称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程0)(22222ykxdxdyxdxydx0)1(2kccckckc21,第二章常微分方程——二阶变系数方程递推公式第一解))((2kcnkcnaann)1(!)1(41)1)()(1)((!2)1(202knnkkknknnaannnn0201)1(!21)1()1(2nknnkknnxaky第二章常微分方程——二阶变系数方程第二解分为以下三种情况i)k为分数ii)k=0xBJxAJxykk22)(cnaann022220)2)(()22()2()1(),(ncnnccncnxacxy第二章常微分方程——二阶变系数方程nxnxacyynnnc131211ln)!()21()1(02200212200)1211()!()21()1(ln)(nnnnnxxxJa)(02xBYy第二章常微分方程——二阶变系数方程iii)k为整数kccxykccy),()(202210212111211)!(!)21()1()21(!)!1()(21ln2)(nknnknknkkknnknnxBxnnkBxJxBxBYy)()(xBYxAJykk第二章常微分方程——二阶变系数方程3、Legendre方程与Legendre函数设代入，得0121222ylldxdyxdxydxnnnxaxy0)(0)1()1()1)(2(02nnnnxllnnanna第二章常微分方程——二阶变系数方程递推公式根据幂级数收敛判别法知，在x=±1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l取整数才能保证级数在x=±1处收敛，此时级数成为Legendre多项式),2,1,0()1)(2()1()1(2nannllnnannnllnllnlxnlnlnnlxP22120)!2()!(!2)!22()1()(或第二章常微分方程——二阶变系数方程性质Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为Fourier－Bessel级数和Fourier－Legendre级数。)157063(81)(,)33035(81)()35(21)(,)13(21)()(,1)(355244232210xxxxPxxxPxxxPxxPxxPxP第二章常微分方程——一阶常系数方程组三、一阶常系数方程组的矩阵解法齐次方程nnnnnnnnnnnbyayayadtdybyayayadtdybyayayadtdy2211222221212112121111Ayy第二章常微分方程——一阶常系数方程组设代入方程得从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵texytteeAxx0xIA0detIA第二章常微分方程——一阶常系数方程组通解或y=Yc常数c由初始条件确定ntttneeetxxxY，,,2121tnnttnececectxxxy212211第二章常微分方程——线性稳定性分析四、线性稳定性分析方法稳定性（stability)——系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。定常态（steadystate)——稳态（与瞬态对应），系统不随时间变化的某个状态。稳定态（stablestate)——稳定的定常态。稳定——差之毫厘，失之毫厘不稳定——差之毫厘，失之千里第二章常微分方程——线性稳定性分析流动的稳定性——雷诺实验、圆柱型水流反应器的热稳定性——飞温与熄火平行平板间的热对流稳定性——Benard现象压杆、板壳的屈曲稳定性稳定性分析方法线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。第二章常微分方程——线性稳定性分析1、线性稳定性分析方法目的——获取失稳判据；方法——稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定非线性动力系统定常态f(ys)=0设x(t)为小扰动，令y(t)=ys+x(t)()ddtyfy第二章常微分方程——线性稳定性分析代入原方程，泰勒展开，保留线性项通解稳定性判别若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。ddtxAxiijjfay121212nntttntcececexxxx第二章常微分方程——线性稳定性分析因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A的特征根的正负号判别问题。如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。特征根方程Routh方法：如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有大于等于零的根，系统不稳定。1201210nnnnnaaaaa第二章常微分方程——线性稳定性分析Routh－Hurwitz判定行列式230121100,,aaaaaa45672345012301434512301300,0aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1,22,12230100nnnnnnaaaaaaaa第二章常微分方程——线性稳定性分析Routh指出，若采用如下的判定函数RiR0=△0,R1=△1,R2=△2/△1,…,Rn=△n/△n-1=an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。第二章常微分方程——线性稳定性分析2、稳态点的分类11111222211222dxaxaxdtdxaxaxdt20rt21,2142rrtt第二章常微分方程——线性稳定性分析1）tr2－40，0：120，稳态点为结点2）tr2－40，0：120，稳态点为鞍点第二章常微分方程——线性稳定性分析3）tr2－40，tr0：1，2为复数，稳态点振荡焦点4）tr＝0，0，1，2都是纯虚数稳态点为中心点第二章常微分方程——线性稳定性分析3、化学反应器的热稳定性取x=cA－cAs,y=T－Ts()AinAAdcVFccVrdt()()()ppinAdTVcFcTTVHrQTdt()AAsdxxrrdt()[()()]AAsrrsdyyrrQTQTdt第二章常微分方程——线性稳定性分析将反应项与移热项线性展开特征根方程1AAAssrrdxxydtcT1AArAsssrrdQdyxydtcTdT20rt第二章常微分方程——线性稳定性分析渐近稳定性条件a)斜率条件——系统移热曲线的斜率必须大于系统放热曲线的斜率b)动态条件11ArAAsssrdQrcdTT11ArAAsssrdQrcdTT第二章常微分方程——线性稳定性分析斜率条件的物理解释谢谢