传感器技术习题解答

第一章1-1求周期方波（图1-1的傅立叶级数（三角形式和复数形式），画出频谱，并与2-3相比。解：1、傅立叶级数的三角形式，由于该信号在坐标轴上下两侧的面积相等，所以00A；又该信号是时间的奇函数，所以：00a；又该信号是时间的奇函数，所以：系数0na；系数nb为：nb=220)sin()(2TTdttntXT；=200020)sin(2)sin(2TTdttnTAdttnTA=1cos2nnA=nnA)1(12=6,4,205,3,14nnnA　　　　　故周期方波的傅立叶级数为：tAtAtAtX0005sin543sin34sin4)(2、傅立叶级数的复指形式为：ntjnwneCtx0)(求nC2/2/0)(1TTtjnwndtetxTC=2/`002/00TtjnwTtjnwdteTAdteTA=2/0002/000TtjnwTtjnweTjnwAeTjnwA=110jnjneeTjnwA=nnAjcos1=53124200、、　　、、　　　　nnAjn故X(t)=ntjnwennTAj0cos111-2求正弦函数txtxsin)(0的绝对均值x的均方根值rmsx。解：x=20020cos2sin2sin1)(1TTTtTxtdtxTdttxTdttxT=x22xrmsxTTxdttXSinTdttxT00222)(1)(1=TTdttTXtdtTX002222cos1sin=22X2Xxrms　1-3求单位指数函数)0,0()(taAetxat的频谱（当)0)(,0txt。解：)(fx=dtetxdtetxftjftj022)()(=dteAeftjat20=dteAtfja0)2(=2224)2(2fqfjaAfjaA幅值谱：2224)(faAfx相位谱：afarctgf2)(1-4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1）的频谱。X(t)x(t)1100t-1a)b)题图1-1解：1）求符号函数的频谱：f(t)=Sgn(t)=010001ttt　　　　　　　　可把Sgn(t)看成是下列指数函数大当a0时的极限情况。00)(tetetfatat　　　　　　上式中a0.dtetffFftj02)()(=02020limdteedteeftjatftjata=02121limajfafja=jffj12)求单位阶跃函数的频谱：0002101)(ttttu　　　　　　u(t)可以分解为常数1与Sgn(t)的叠加，即：)(121)(tSgntu所以)1)((21)(fjffu1-5求被截取的余弦函数t0cos（题图1-2）的傅立叶变换；TtTtttx　　　　　　　0cos)(0解：x(f)=dtetxftj2)(=dtftjtftfTT2sin2cos2cos0=TTftdttf2cos2cos0=Tdttfftff000)(2cos)(2cos=)(2)(2sin)(2)(2sin0000ffTffffTff1-6求指数衰减振荡信号tetxat0sin)(（题图1-4）的频谱。解：)(X=00sin21dtetetjat=00)(sin21tdtetja)(2sin000tjtjeejt)(x=0)()(00221dteejtjjatja=00)(1)(1221jjajjaj=2020)(21jax(f)=2020)2()2(2ffjafx(t)1-TTt-1题图1-21-7设有一时间函数f（t）,其频谱图(如题图1-3)所示，现乘上一)(cos00mt的余弦振荡信号,在个关系中，函数f（t）叫做调制载波。试求调幅信号ttf0cos)(的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若m0时将会出现什么情况？f(t)F()0mm解：调幅信号ttftx0cos)()(，其傅立叶变换为：)(X=dtetxtj)(21=tjettf0cos)(21=dteeetfjtjtjt0021)(21=dtetfdtetftjtj)()(00)()(41=)()(2100FF1-8求正弦信号tXtxsin)(的均值x，均方值2x和概率密度函数p（x）。解：1）求概率密度函数p（x）：xxxtxxPxPx)])([lim)(0TtxxtxxpTlim])([对于周期信号可在一个周期内考察取值于x到x+dx内的时间比例，即2dt/T。按题意：tXxsinXxtarcsin2221111xXXxXdxdt带入公式即得概率密度函数p（X）TtxxpTxlim1lim)(0=2222222121xXxXTdxdxTdtdx=221xX2）求均值x：TxdttXT00sin13）求均方值2x2sin120222XdttXTTx第二章2-1进行某次动态压力测量时，所用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/Mpa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相联，而电荷放大器的输出接到一台笔记式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度，又当压力变化为3.5Mpa时，记录笔在记录纸上的位移量是多少？解：总灵敏度MPammVmmnCVMPanCkkkk/09.9/20/005.0/9.900302010记录的位移=mm8.3109.95.3。2-2用一个时间常数为0.05S的一阶装置去测量周期分别为1S,2S和5S的正弦信号,问幅度误差将是多少?解:对一阶装置而言,幅频特性是:221111)(TwwA而幅值误差可表达为：%1001)(1)0()()0(wAAwAAA以35.0秒和T=1秒、2秒和5秒代入上两式求解，即得42.0114.3235.011)(21wA%581A67.0214.3235.011)(22wA%322A92.0514.3235.011)(23wA%83A2-3求周期信号X(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t-045)通过传递函数为1005.01)(ssH的装置后所得到的稳态响应。解：因题设装置的频率响应函数为jwjwjwH005.01111)(此装置对所给输入信号小X(t),按线形迭加性和频率保持特性)()()(21tXtXtX其中0105.010cos5.0)(1111　　　　即wttX451002.0)45100cos(2.0)(2222　　　　即wttX应分别有下列之增益和相移，并保持其频率，即86.299.010005.011)(11jjwH增益0.9987相移862.256.2689.0100005.011)(22jjwH增益0.8944相移56.26据上7.78100cos2.089.0)6.2610cos(5.089.0)(ttty=)7.123100cos(18.0)6.2610cos(49.0tt从本例可以看出，一阶装置具有对较高频率输入的“抑制”作用，即星期低通滤波的特性。3-4一个气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，并以5m/s的上升速度通过大气层。设温度随所处的高度按每升高30m下降15.0的规律变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为C1。试问实际出现C1时的真实高度是多少？解：由于对温度计（应视作一阶装置）的输入是一种斜坡函数。若不计用无线电拍回地面所花的时间，则气球上升到3000m米处所需时间为t=H/V=3000/5=600秒15秒。则温度计对斜坡输入的响应延迟后的时间秒15)1(15)(15/600/eettr于是真实高度，即实际指示1处高度米。29255153000VHHt2-5想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？若用该系统测试50Hz信号，问次此时的振幅误差和相角误差是多少？解：按题意：1)ssfjH523)(10233.5)200(108.0108.020010022108.0195100)(%5)(111%10011)(422222　　又　2)/411242209)1023.5100(%3.1)1023.5100(111%100)(1111005022tgtgf2-6试说明二阶装置阻尼比的原因（多采用)7.0~6.0。答:一般来说，在8.0~6.0时，可以获得较为合适的综合特性。计算表明，对于二阶系统，当7.0时，在n58,0~0的频率范围内，幅频特性)(A的变化不超过5%，同时相频特性)(也接近于直线，因而所产生的相位失真也很小。2-7将信号tcos输入一个传递函数为11)(ssH的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。解：Y(S)=H(S)X(S))(ty)(1Sy现X(S)=22cos)(SSttX11)(sSHjsajsasajsjsssSSsSY32122111111)(其中1)1(11221221Ssssa)1(21)(11222tjjssssajS)1(2123tjaa　)1(211)1(211)1(11)(22tjjstjjssSY=2222222111ssss)()(1SYtyttetsincos11222ttetsin1cos1111112222/2222=ttetsinsincoscoscos11/22=)cos(cos11/2tet其中2)(11cos（或tg)(1tg2-8求频率响应函数为)1761577536)(01.01(31550722jj的系统对正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。解：先把系统的频率传递函数表达式写成222)1256()(1176)()1256(20